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| − | ===Mathematische Definition des Tonsystems===
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| − | <br><br>Als erstes muss der Tonraumbegriff definiert werden: „Töne sind Elemente, welche in einer Menge zusammengefaßt werden. Jeder Ton ist durch eine endliche Folge von Tonparametern charakterisiert, deren erster die Tonhöhe des Tons festhält; verschiedene Tonhöhen haben verschiedene Parameterfolgen (Gegeben ist eine injektive Abbildung P, die jedem Ton seine Parameterfolge P(t) zuordnet. Falls P(t) n Glieder hat, schreiben wir P(t)=(P(t)1,...,P(t)n)“<ref name="N1">Neumaier S.38</ref>.<br><br>
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| − | t wird hier als Tonhöhe bezeichnet.<br>
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| − | Variablen von Tönen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. (A,B,C...)<br><br>
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| − | Nun folgt der Begriff des Komparativs (Anm. mathematisch richtige Bezeichnungen hierfür sind asymetrische und transitive Relation oder strikte Halbordnung) (>), der folgende Gesetze erfüllt:<br>
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| − | für x > y, gilt unter keinen Umständen y > x;<br>
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| − | für x > y und y > z gilt: x > z;<br>
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| − | Ebenso gilt das Gegenteil des Komparativs (Anm. inverse Relation) (<).<br>
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| − | Der Komparativ findet seine Verwendung im Tonhöhenaxiom: „Töne werden mit dem Komparativ 'höher' verglichen, wobei von zwei Tönen verschiedener Tonhöhe einer von beiden höher als der andere ist.“<ref name="N1">ebenda</ref><br>
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| − | Das heißt für uns wenn H(A) ≠ H(B) → A > B oder B>A. H ist die Tonhöhe eines Tones.<br>
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| − | Ebenso gilt das Gegenteil dieses Tonhöhenaxioms (H(A) ≠ H(B) →A< B oder B<A; das kleiner bedeutet in diesem Fall tiefer). <br>
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| − | Wenn beide Töne die gleiche Tonhöhe haben gilt: A~B → H(A) = H(B).<br><br>
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| − | Da der oben definierte Tonbegriff nicht ausreicht, wenn man die Beziehung zwischen zwei Tönen betrachten will, muss nun einen weiteren Begriff eingeführt werden, den Begriff der Intervalls.<br><br>
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| − | Der Abstand von einem Ton zu einem anderen ist ein eindeutiger Höhenunterschied und wird mit dem Begriff Intervall i bezeichnet. Dabei ist i=AB<br><br>
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| − | Konkrekt heißt das (In diesem Fall stellt A die Tonbezeichnung für den Ton A da und nicht die Variable): Wenn wir auf den Grundton A zuerst eine Quarte Qua und anschließend auf den Endton einen Ganzton Gt intonieren, so ergibt sich als Ergebnis ein E. Also gilt E = (A + Qua) + Gt = A + (Qua + Gt) = A + Q für Q = Qua + Gt;<br><br>
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| − | Der Intervallraum ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Diese Gruppe ist nach dem Satz von Hölder isomorph zu einer additiven Teilgruppe der reelen Zahlen“ <ref name="J2">http://delphi.zsg-rottenburg.de/axiomensystem.html [Stand 2010-10-13]</ref><br><br>
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| − | Der Beweis findet sich [http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Mathematische_Beschreibung_des_Intervallraumes hier] <br><br>
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| − | 2 Töne, A und B bestimmen immer ein Intervall i = AB. Dabei gilt A „Grundton“ und B „Endton“<br>
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| − | So ist z.B. für A = c und B = f die Quarte AB bestimmt<br><br>
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| − | Im folgenden Abschnitt sind A und B zwei Variablen für 2 beliebige Töne.<br><br>
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| − | Weiter gilt, dass wenn der Endton B und das Intervall i bekannt sind, für den Grundton A: A = B - i;<br><br>
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| − | Die Addition zweier Intervalle verläuft nach folgendem Schema:<br><br>
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| − | i= AB und j = BC; dann ist die Summe der beiden Intervalle i + j = AC<br><br>
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| − | 2 Intervalle können auch verglichen werden. Wenn wir j < i schreiben, dann bedeutet das, dass der Endton des Intervall j kleiner ist, als der des Intervall i, wobei der Grundton beider Intervalle gleich ist. Zum Beispiel gilt: Qua < Qui; <br><br>
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| − | Nun betrachten wir den Tonraum (T,I,+,<)<br>
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| − | I ist die Menge der Intervalle, wobei die Variablen von Intervallen mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden (i,j...). <br><br>
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| − | Da die Menge der Intervalle eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist, gelten die folgenden Gesetze:<br><br>
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| − | (1) Die Abgeschlossenheit: Zwei Intervalle I und j ergeben durch Addition i + j wieder ein neues Intervall k<br>
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| − | (2) Das Assoziativgesetz: (i + j)+ k = i+(j + k)<br>
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| − | (3) Ebenso das Kommutativgesetz: i + j = j + i <br>
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| − | (4) Die Exsistenz des Nullelementes und Inversen: i+x=j hat immer eine eindeutige Lösung, x=j-i. (das sogenannte Nullintervall, die Prim, ist durch o: i+o=i definiert und auch das zu jedem Intervall zugehörige inverse Intervall -i mit i+(-i)=o)<br>
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| − | (5) Die Trichotomie: Es gilt immer: i < j, i=j oder i>j<br>
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| − | (6) Transitiv: Aus i < j und j<j folgt i < k<br>
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| − | (7) Die Monotonie: Für i < j gilt i + k < j + k<br>
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| − | (8) Das Archimedische Gesetz: Es gibt zu jedem i und j mit 0 < i < j eine natürliche Zahl n, mit der gilt: n <math>\cdot</math > i > j, wobei das Intervall n <math>\cdot</math> i durch n-maliges Addieren des Intervalls I erhalten wird.<br><br>
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| − | Da T ein „affiner“ Raum über I ist gilt:<br><br>
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| − | (9) Genau zwei Töne, A und B, bestimmen ein Intervall i. i = AB (Vektor)<br>
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| − | (10) Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B (i = AB), für den gilt: B = A+i.<br>
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| − | (11) Es gilt: A+(i+j)= (A+i)+j oder anders geschrieben: AB + BC =AC <ref name="J1">vgl. ebenda [Stand 2010-09-24]</ref> <br><br>
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| − | "Beweis der Gleichwertigkeit:
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| − | <table>
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| − | <tr>
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| − | <td colspan=2>Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td>"=>"</td>
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| − | <td>Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I.</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11))</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>= B+ j=C.</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>Somit AC=i+j=AB+BC</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − |
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| − | <td>"<="</td>
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| − | <td>Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>Gegeben sei A ε T und i,j El I.</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − |
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| − | <td> </td>
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| − | <td>A+(i+j)=(A+i)+j</td>
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| − | </tr>
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| − | <tr>
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| − | <td> </td>
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| − | <td>q.e.d."<ref name="J2">http://delphi.zsg-rottenburg.de/axiomensystem.html [Stand 2010-10-13]</ref></td>
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| − | </tr>
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| − | </table><br><br>
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| − | Eine Tonleiter ist eine Anwendung des Tonraums. Der komplette Tonraum ist unübersichtlich, da er unendlich viele Töne enthält. Deshalb wird für die Praxis das Tonmaterial eingeschränkt.<br>
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| − | „Eine Tonleiter ist eine endliche Tonfolge, bei der entweder jeder Ton tiefer als der folgende oder aber jeder Ton höher als der folgende ist. Die Töne einer Tonleiter heißen Stufen: die n-te Stufe einer Tonleiter ist ihr n-ter Ton. “<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Die Betrachtung des Intervallbegriffs aus musikalischer Sicht| ''Betrachtung des Intervallbegriffs aus musikalischer Sicht'']]<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]<br><br>
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| − | <references />
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