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| − | ===Beweis, das es kein Tonsystem gibt, das sowohl Oktaven- als auch Quintenvollständig ist:===
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| − | <br><br>Wir nehmen nun ein Tonsystem her, dass Oktaven-vollständig ist. Die Oktave wird durch die beiden Töne a und a' begrenzt. Zwischen diesen beiden Tönen liegt nun eine endliche Anzahl anderer Töne.<br>
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| − | Nun nehmen wir zusätzlich noch an das das System Quinten-vollständig ist. Nun bilden wir ausgehend von u<sub>0</sub>:= a die Töne u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, …., u<sub>j</sub>, im Quinten-Abstand.
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| − | Die Tonhöhe des j-ten Tons ist:<br><br>
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| − | <math>H(u_j) = \frac{3}{2}^j \cdot H(u_o);</math><br><br>
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| − | Nun reduzieren wir den Ton um m Oktaven und erhalten einen Ton der in dem gewünschten Intervall a a' liegt:
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| − | <math>H(s_j) = \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j \cdot H(u_o);</math>
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| − | Wenn wir die Rechnung nun für j = 1 , j = 2, …, durchführen erhalten wir die Töne s<sub>1</sub>,s<sub>2</sub>,…,die im Intervall [a;a'[ liegen. Wegen dem endlichen Tonvorrat müssen 2 Töne identisch sein: s<sub>j</sub> und s<sub>k</sub>, für k ≠ j;<br><br>
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| − | <math>
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| − | H(s_k) = \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k \cdot H(u_o);</math><br><br>
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| − | Weil wir definiert haben das <math>H(s_k) = H(s_j)</math> ist, gilt: <br><br>
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| − | <math>
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| − | \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j \cdot H(u_o) = \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k \cdot H(u_o)</math><br><br>
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| − | Nun formen wir die Gleichung um:<br><br>
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| − | <math> \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k = \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j;</math><br><br>
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| − | <math>\frac {1}{2^{n+k}} \cdot 3^k = \frac {1}{2^{m+j}} \cdot 3^j;</math><br><br>
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| − | <math>2^{m+j} \cdot 3^k = 2^{n+k} \cdot 3^j;</math><br><br>
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| − | <math>m, n, j, k \in \N .</math><br><br>
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| − | Wie deutlich wurde gibt es sowohl bei pythagoreischer Stimmung als auch bei der natürlichen Stimmung ein Problem mit den reinen Quinten.<br>
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| − | Es fiel auf das man eine Oktave (a, a') in keiner Weise, durch wie viele Töne auch immer teilen kann, dass das System das dabei entsteht sowohl Quinten – als auch Oktaven-vollständig ist.<br>
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| − | Dies wollen wir nun mathematisch Beweisen.<br>
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| − | Wir nehmen nun ein Tonsystem her, dass Oktaven-vollständig ist. Die Oktave wird durch die beiden Töne a und a' begrenzt. Zwischen diesen beiden Tönen liegt nun eine endliche Anzahl anderer Töne.<br>
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| − | Nun nehmen wir zusätzlich noch an das das System Quinten-vollständig ist. Nun bilden wir ausgehend von uo:= a die Töne u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, …., u<sub>j</sub>, im Quinten-Abstand.
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| − | Die Tonhöhe des j-ten Tons ist:<br><br>
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| − | <math>H(u_j) = \frac{3}{2}^j \cdot H(u_o);</math><br><br>
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| − | Nun reduzieren wir den Ton um m Oktaven und erhalten einen Ton der in dem gewünschten Intervall a a' liegt:
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| − | <math>H(s_j) = \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j \cdot H(u_o);</math>
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| − | Wenn wir die Rechnung nun für j = 1 , j = 2, …, durchführen erhalten wir die Töne s<sub>1</sub>,s<sub>2</sub>,…,die im Intervall [a;a'[liegen. Wegen dem endlichen Tonvorrat müssen 2 Töne identisch sein: s<sub>j</sub> und s<sub>k</sub>, für k ≠ j;<br><br>
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| − | <math>
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| − | H(s_k) = \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k \cdot H(u_o);</math><br><br>
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| − | Weil wir definiert haben das <math>H(s_k) = H(s_j)</math> ist, gilt: <br><br>
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| − | <math>
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| − | \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j \cdot H(u_o) = \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k \cdot H(u_o)</math><br><br>
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| − | Nun formen wir die Gleichung um:<br><br>
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| − | <math> \frac {1}{2^n} \cdot (\frac {3}{2})^k = \frac {1}{2^m} \cdot (\frac {3}{2})^j;</math><br><br>
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| − | <math>\frac {1}{2^{n+k}} \cdot 3^k = \frac {1}{2^{m+j}} \cdot 3^j;</math><br><br>
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| − | <math>2^{m+j} \cdot 3^k = 2^{n+k} \cdot 3^j;</math><br><br>
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| − | <math>m, n, j, k \in \N.</math><ref>vgl. Reimer S.17 f.</ref><br><br>
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| − | Für Primzahlen 2 und 3 gibt es keine Lösung dieser Gleichung.<br><br>
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| − | Die kanonische Primfaktorzerlegung besagt (aufbauend auf dem Hauptsatz der Arithmetik) , dass jede natürliche Zahl z ≥ 2 eine eindeutig bestimmte Faktorisierung<br>
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| − | z = p<sub>1</sub><sup>n<sub>1</sub></sup> <math> \cdot </math> p<sub>2</sub><sup>n<sub>2</sub></sup> <math> \cdot </math> … <math> \cdot </math> p<sub>r</sub><sup>n<sub>s</sub></sup><br>
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| − | mit einer natürlichen Zahl s besitzt, Primzahlen<br>
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| − | p<sub>1</sub> < p<sub>2</sub> < … < p<sub>s</sub> <br>
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| − | und natürliche Zahlen n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, …, n<sub>s</sub>;<br>
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| − | [http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.zawa/lehre/11adm/Skript.pdf Beweisführung] oder [http://www.math.uni-muenster.de/u/ischebeck/vorkurs_ergaenzung.pdf Primfaktorzerlegung nach Gauß]<br>
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| − | Daher kann es für die beiden Primzahlen 2 und 3 keine Lösung der Gleichung geben.<br>
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| − | Daraus folgt, dass kein Tonsystem sowohl Oktaven- als auch Quinten-vollständig ist.<br>
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| − | Da die Quarte das komplementär Intervall zur Quinte ist folgt daraus, dass kein Tonsystem sowohl Quinten- als auch Quarten-vollständig ist.<br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/12-Ton-System| '''weiter zur Erweiterung des Tonsystems'']]<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]
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| − | <references />
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