2005 V: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. April 2010, 21:33 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Analytische Geometrie V

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Lösungen erstellt von: Oliver Viering, Christopher Schlereth, David Gebauer

Gegeben ist die Ebenenschar In einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ ist die Ebenenschar $Z_a : \vec x = \overrightarrow{OD} + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} a \\ 2a - 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit D (-2 | 0 | -2) und λ, τ, a є IR.

Aufgabe 1

a)Alle Scharebenen haben eine Gerade gemeinsam, die mit g bezeichnet wird. Geben Sie eine Gleichung von g an. 2 BE

b) Zeigen Sie, dass Z_a : $\left( 4a - 10\right) *x_1 - \left(2a + 4\right)* x^2 + \left( 5a - 8 \right) * x^3 + 18a - 36 = 0$ eine weitere mögliche Gleichung für die Ebenenschar Z_a ist.5 BE

c) Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters a die zugehörige Scharebene senkrecht auf der Scharebene Z₁ steht. 4 BE

d) Zeigen Sie, dass die Scharebene Z2 eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen Z₁ und Z₄ist. 5 BE

Aufgabe 2

Der Punkt M(-1| 1 | 3) ist Mittelpunkt einer Kugel mit Radius $\sqrt[3]{3}$ .

a)Zeigen Sie, dass der Punkt D auf dieser Kugel liegt, und berechnen Sie die Koordinaten des Kugelpunkts F, für den [FD] ein Durchmesser der Kugel ist. [Ergebnis: F(0 | 2 | 8)] 4 BE

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Kugelpunkte, die auf der Geradeng liegen. [Ergebnis: D und H(-6 | 2 | 2) ] 6 BE

c) Berechnen Sie die Längen DH und HF und begründen Sie, dass man die drei Punkte D, F und H zu einem Würfel ABCDEFGH wie in der Abbildung ergänzen kann. 6 BE

d) Zeigen Sie, dass das Dreieck DHF in der Ebene Z₂ liegt. Begründen Sie ohne Rechnung nur mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, warum die Ebenen Z₁ und Z₄ je eine Würfelfläche enthalten. 5 BE

e) Der Eckpunkt G liegt in Z₄ (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von G. 4 BE

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 d) Zeigen Sie, dass die Scharebene Z2 eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen Z<sub>1</sub> und Z<sub>4 </sub>ist.  ''5 BE''
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