2004 II: Unterschied zwischen den Versionen
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;Aufgabe 1 | ;Aufgabe 1 | ||
− | Gegeben ist die | + | Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>. |
− | a) | + | a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an. |
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− | b) | + | b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>. |
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+ | Begründen Sie, dass alle Graphen G<sub>k</sub> einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen. | ||
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− | c) | + | c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein. |
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− | d) | + | d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert. |
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+ | e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt (1|2) verläuft. | ||
− | + | Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft. | |
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
− | + | Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>. | |
− | + | Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit. | |
+ | Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern). | ||
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+ | a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt. | ||
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− | b) | + | Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben. |
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+ | b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt. | ||
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Version vom 28. März 2010, 19:42 Uhr
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Gegeben ist die Schar der Funktionen
a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge Dk. Untersuchen Sie für k
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Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph Gk verläuft.
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Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t0 entspricht dem während der ersten t0 Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).
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