2005 I: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen mit

Der Graph von f_k wird mit G_kbezeichnet.

a) Untersuchen Sie f_k auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von f_k für und .

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen G_k nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

c) Für welche Werte von k besitzt G_k mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass die Punkte von G_k mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion mit liegen.

d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G₁ und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen G₂ in die Abbildung ein.

e) Bestätigen Sie, dass für gilt: . Der Graph G₁ begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt mit Hilfe der obigen Beziehung.

Aufgabe 2

In einer Fachzeitschrift war zu lesen:

"Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbevölkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginnn des Jahres 2003 lebten bereits 6,274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginnn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt."

a) Wieviele Kinder wurden 2003 im Durchschnitt näherungsweise pro Minute geboren? Wieviele Milliarden Menschen lebten zu Beginn des Jahres 2004?

b) Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel berechnen. Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde.

c) Bilden Sie die Ableitung der Funktion . Welcher Zusammenhang besteht zwischen und ?