2005 V: Unterschied zwischen den Versionen

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Lösungen erstellt von: Oliver Viering, Christopher Schlereth, David Gebauer</center>
  
 
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Version vom 21. März 2010, 15:13 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Analytische Geometrie V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Oliver Viering, Christopher Schlereth, David Gebauer


Gegeben ist die Ebenenschar In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 ist die Ebenenschar Za : \vec t = \vec OD + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} a \\ 2a - 4 \\ 2 \end{pmatrix} mit D (-2 | 0 | -2) und λ, τ, a є IR.


Aufgabe 1

a)Alle Scharebenen haben eine Gerade gemeinsam, die mit g bezeichnet wird. Geben Sie eine Gleichung von g an. 2 BE

ABI 2005 V 1a Lös.jpg


b) Zeigen Sie, dass Za : \left( 4a - 10\right) *x<sub>1</sub> - \left(2a + 4\right)* x^2 + \left( 5a - 8 \right) * x^3 + 18a - 36 = 0 eine weitere mögliche Gleichung für die Ebenenschar Za ist.5 BE

ABI 2005 V 1b Lös.jpg


c) Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters a die zugehörige Scharebene senkrecht auf der Scharebene Z1 steht. 4 BE

ABI 2005 V 1c Lös.jpg


d) Zeigen Sie, dass die Scharebene Z2 eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen Z1 und Z4 ist. 5 BE

ABI 2005 V 1d Lös.jpg


Aufgabe 2

Der Punkt M(-1| 1 | 3) ist Mittelpunkt einer Kugel mit Radius \sqrt[3]{3}.


a)Zeigen Sie, dass der Punkt D auf dieser Kugel liegt, und berechnen Sie die Koordinaten des Kugelpunkts F, für den [FD] ein Durchmesser der Kugel ist. [Ergebnis: F(0 | 2 | 8)] 4 BE

ABI 2005 V 2a Lös.jpg


b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Kugelpunkte, die auf der Geradeng liegen. [Ergebnis: D und H(-6 | 2 | 2) ] 6 BE

ABI 2005 V 2b Lös.jpg


c) Berechnen Sie die Längen DH und HF und begründen Sie, dass man die drei Punkte D, F und H zu einem Würfel ABCDEFGH wie in der Abbildung ergänzen kann. 6 BE

ABI 2005 V 2c Lös.jpg


d) Zeigen Sie, dass das Dreieck DHF in der Ebene Z2 liegt. Begründen Sie ohne Rechnung nur mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, warum die Ebenen Z1 und Z4 je eine Würfelfläche enthalten. 5 BE

ABI 2005 V 2d Lös.jpg


e) Der Eckpunkt G liegt in Z4 (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von G. 4 BE

ABI 2005 V 2e Lös.jpg


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