2005 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion <math>f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x} </math> mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.<div align="right">''4 BE''</div>
 
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Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen G<sub>g</sub>. Die Abbildung zeigt den Graphen G<sub>u</sub> der in IR\{-2;1} definierten Funktion <math>u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}</math>. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von G<sub>u</sub>.
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Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden.
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a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub>.<div align="right">''5 BE''</div>
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c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub> gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)<div align="right">''5 BE''</div>
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Version vom 4. März 2010, 18:27 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x} mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.



a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.
4 BE
ABI 2005 II 1a Lös.jpg


b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
4 BE
ABI 2005 II 1b Lös.jpg


c) Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f^{-1} an und ermitteln Sie den Funktionsterm f^ {-1}(x).
5 BE
ABI 2005 II 1c Lös.jpg


d) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und f^ {-1} in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.
5 BE
ABI 2005 II 1d Lös.jpg


e) Der Graph Gf die x-Achse und die Gerade x= –1 schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.
4 BE
ABI 2005 II 1e Lös.jpg



Aufgabe 2

Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen Gg. Die Abbildung zeigt den Graphen Gu der in IR\{-2;1} definierten Funktion u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von Gu.

ABI 2005 II Grafik A2.jpg


Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden.


a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gu und Gg.
5 BE
ABI 2005 II 2a Lös.jpg


b) Begründen Sie, dass Gg in x= – 2 und x=0 waagrechte Tangenten hat.
5 BE
ABI 2005 II 2b Lös.jpg


c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von Gu und Gg gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)
5 BE
ABI 2005 II 2b Lös.jpg


d) Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berück-sichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen Gg.
3 BE
ABI 2005 II 2b Lös.jpg






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