2006 II: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}}</math> ,<math>x \ge 0</math>, <br /> | <math> N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}}</math> ,<math>x \ge 0</math>, <br /> | ||
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beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N. | beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N. | ||
Version vom 18. Februar 2010, 16:40 Uhr
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1.Gegeben ist die Schar der Funktionen mit
a) Untersuchen Sie das Verhalten von
b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von
c) Weisen Sie nach, dass der Punkt
d) Weisen Sie nach, dass für alle
e) Die beiden Koordinatenachsen und
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und Definitionsmenge 
. 
bezeichnet den Graphen von 
.
und 
.
]
der einzige Wendepunkt von 
gilt: 
. Begründen Sie damit die Symmetrie von 
.
besitzt.
(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit 
zu erweitern.)
2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit
a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus
b) Mit wie vielen Bakterien wurde die Kultur angesetzt, wie viele Bakterien sind es nach zwei Stunden?
c) Berechnen Sie, nach welcher Zeit 90 % des Grenzbestandes von 2 Millionen Bakterien erreicht sind.
d) Schätzen Sie rechnerisch ab, wie viele Bakterien in der Minute stärksten Wachstums hinzukommen.
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,
, 
der Aufgabe 1 entsteht.
