2008 VI: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt. | + | a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.<br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] <div align="right">''5 BE''</div> |
| − | <br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] | + | |
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| − | b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie | + | b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)<br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] <div align="right">''7 BE''</div> |
| − | die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt | + | |
| − | mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.) | + | |
| − | <br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] | + | |
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| − | c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. | + | c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. <div align="right">''6 BE''</div> |
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
| − | a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k. | + | a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.<br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] <div align="right">''4 BE''</div> |
| − | <br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] | + | |
<popup name="Tipp"> | <popup name="Tipp"> | ||
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| − | b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden | + | b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. <div align="right">''3 BE''</div> |
| − | g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. | + | |
| − | + | ||
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| − | c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt | + | c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus? <div align="right">''7 BE''</div> |
| − | S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese | + | |
| − | Pyramide aus? | + | |
| − | + | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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;Aufgabe 3 | ;Aufgabe 3 | ||
| − | Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden | + | Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt. <div align="right">''8 BE''</div> |
| − | Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich | + | |
| − | der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen | + | |
| − | Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E | + | |
| − | berührt. | + | |
<popup name="Tipp"> | <popup name="Tipp"> | ||
Version vom 10. Februar 2010, 15:13 Uhr
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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g :  [Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] 5 BE
2.Lösung Ebene erstellen
Da der Kreis in der Ebene liegt, genügt es die Länge [MP] zu überprüfen. Der Nachweis, dass P in der Ebene liegt, ist nicht mehr nötig.
[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] 7 BE
Bestimmung der Schnittpunkte 1. Lösung: g in k
2. Lösung: allgemeiner Geradenpunkt
 und  einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. 6 BE
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, λ ∈ IR gegeben.
Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius 
und liegt in der Ebene E.
[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] 4 BE
2. Lösung
3 BE
7 BE
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8 BE
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