Lösung von Teilaufgabe b: Unterschied zwischen den Versionen
(→3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten) |
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Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren. | Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren. | ||
| − | <math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x\cdot | + | <math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br /> |
::: <math> = [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}</math><br /> | ::: <math> = [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}</math><br /> | ||
::: <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]</math><br /> | ::: <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]</math><br /> | ||
::: <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br /> | ::: <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br /> | ||
| − | ::::::::::::::::::: <math> | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br /> | + | ::::::::::::::::::: <math> | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br /> |
::: <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br /> | ::: <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br /> | ||
::: <math> = \, [e^{2}]</math><br /> | ::: <math> = \, [e^{2}]</math><br /> | ||
'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''. | '''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''. | ||
Version vom 23. Januar 2010, 21:06 Uhr
1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa
1.) Von 
verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von 
verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.
2.) Bei 
ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändert für 
und 
das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph GFa an der Stell einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration
Hilfe zur partiellen Integration
Definiere:
![=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx](/images/math/4/8/b/48b076ebcbea4a660fecb98b42bdd1b2.png)
![=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}](/images/math/d/4/c/d4c95a12232d92ce7665b2c4e3bc265a.png)
![=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}](/images/math/b/c/c/bccd0ad6948f7a907085ee95d266088d.png)
Der Graph von 
für Interessierte: Der Holzweg
3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten
- Hinweis:
- Hinweis:
Da die Nullstelle der Funktion fa bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f2 bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
![\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}](/images/math/2/b/6/2b6a89c162d9bf0b6afc66cd92b55004.png)
![= [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}](/images/math/4/f/4/4f4d485b63c946ec1a72aecae0910da1.png)
![= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]](/images/math/e/c/0/ec0cb3d975663bf33b077610026f62b2.png)
![= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]](/images/math/2/7/b/27b1eff770381056da4fdad7c27fb86f.png)
![| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis](/images/math/5/8/c/58c90c4ca0c3da5143fd54578530a462.png)
![= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]](/images/math/3/3/c/33c09d0587afaad1a103e98c1c3d6dc5.png)
![= \, [e^{2}]](/images/math/2/3/4/234a8b5b65c03b7893016677a4506939.png)
Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.
