Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

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'''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' Eine Verschiebung des Graphen <span style="color: red">um 3 Einheiten in positiver x-Richtung</span> (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.<br />  Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>). <br /> <br />
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'''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.<br />  Das bedeutet für den funktionellen Zusamenhang: g(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>). <br /> <br />
  
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>  <br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>  <br />
 
:::x=1 <math>\rightarrow</math>  f(1)=3  <br />    <br />                       
 
:::x=1 <math>\rightarrow</math>  f(1)=3  <br />    <br />                       
 
Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br />
 
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:::j(x)=f(x<span style="color: red">-3</span>) <br />
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:::j(x)=(x-3)<sup>3</sup>+2(x-3)<sup>2</sup> <br />
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:::j(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br />
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:::<span style="color: green">j(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br />
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Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br />
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Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br />
  
  
 
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Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x<span style="color: red">-b</span>) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).</div>
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Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).</div>
  
 
== <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> ==
 
== <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> ==

Version vom 18. Januar 2010, 19:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:
Im untenstehenden Applett siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben
des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt.




Erklärung:
Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Eineiten über bzw unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt.
Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als
der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw.
nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben.

Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: g(x)=f(x)+a.

Beispiel: f(x)=x3


f(2)=8

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben \rightarrow g(x)=f(x)+3

g(2)=f(2)+3
g(2)=8+3
g(2)=11



Merke:

Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung.

Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).




2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung:
Im untenstehenden Applett siehst du den Graphen f mit x→x3+2x2 und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst. Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauzufinden.




Erklärung: Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.
Das bedeutet für den funktionellen Zusamenhang: g(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x3+2x2
x=1 \rightarrow f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

g(x)=f(x-3)
g(x)=(x-3)3+2(x-3)2
g(4)=(4-3)3+2(4-3)2
g(4)=1+2=3=f(1)


Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).

3.Beispielaufagben

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.



Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion:
Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png

a) Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png b) Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png c) Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png




Aufgabe 3:
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1. In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x4+3x2-2x+4 ist gegenüber dem Graphen g(x)=3x4+3x2-2x verschoben?

nach oben
nach unten
nach links
in positiver y-Richtung
nach rechts

2. Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x3+x2+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x3+x2-2 nach oben verschoben?

4
gar nicht
6
2

3. Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x3+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist?

g(x)=x3+2x-1
g(x)=x3+6x2+14x+11
g(x)=x3+2x-3
g(x)=(x+2)3+2(x+2)-1
g(x)=(x-2)3+2(x-2)-1

4. In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)2+2 gegenüber der Funktion f(x)=x2+2 verschoben?

nach links
nach rechts
in positiver y-Richtung
in positiver x-Richtung
in negativer x-Richtung
in negativer y-Richtung
nach oben
nach unten

Punkte: 0 / 0


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