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− | = <span style="color: blue">Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen</span> =
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− | == <span style="color: blue">Streckung in y-Richtung</span> ==
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− | ''' <span style="color: blue">Zur Erinnerung:</span>''' Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x<sup>2</sup> sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.
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− | ''' <span style="color: blue">Problemstellung:</span>'''
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− | <ggb_applet width="892" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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− | Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
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− | ''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!''' <br /> <br /> <br />
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− | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>''' <br />
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− | :<span style="color: green">k=3</span> <br />
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− | :<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br />
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− | ::g(x)=f(x)<math>\times</math>k <br />
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− | ::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\times</math>3</span> <br />
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− | ::g(1)=-0,5<math>\times</math>3 <br />
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− | ::g(1)=-1,5 </div> <br /> <br /> <br /> <br />
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| == <span style="color: blue">Streckung in x-Richtung</span> == | | == <span style="color: blue">Streckung in x-Richtung</span> == |
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| Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt. | | Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt. |
| Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> <br /> <br /> | | Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> <br /> <br /> |
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− | == <span style="color: blue">Spiegelung an der x-Achse</span> ==
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− | Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle
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− | g(x)= -1k×f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br />
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− | Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x). <br />
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− | [[Bild:Spiegelung an der x-Achse.png|450px|left]]
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− | Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x<sup>4</sup>-x<sup>2</sup> rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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− | == <span style="color: blue">Spiegelung an der y-Achse</span> ==
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− | Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2<sup>x</sup>. <br />
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− | [[Bild:Spiegelung an der y-Achse.png|450px|left]]
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− | Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2<sup>-x</sup>. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.
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− | <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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− | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: red">Merke:</span>''' <br />
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− | Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor. <br />
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− | Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor. <br /> <br />
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− | ''' Hinweis:''' Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.</div> <br /> <br />
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− | == <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> ==
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− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br />
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− | Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x). <br /> <br />
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− | <popup name="Lösung">
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− | [[Bild:Lösung Strekungsaufgabe 1.png|600px]]
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− | </popup> <br />
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− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br />
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− | Gegeben ist die Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.<br />
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− | :a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
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− | :b) Spiegelung an der x-Achse <br />
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− | :c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
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− | :d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
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− | :e) Spiegelung an der y-Achse <br /> <br />
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− | <popup name="Lösung">
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− | f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br />
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− | a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
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− | ::g(x)=k<math>\times</math>f(x) mit k=3 <br />
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− | ::g(x)=3<math>\times</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br />
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− | ::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br />
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− | b) Spiegelung an der x-Achse <br />
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− | ::h(x)=-g(x) <br />
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− | ::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br />
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− | ::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br />
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− | c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
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− | ::i(x)=h(kx) mit k=<math>{1 \over 0,5}</math>=2 <br />
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− | ::i(x)=h(2x) <br />
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− | ::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br />
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− | ::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br />
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− | d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
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− | ::k(x)=0,25<math>\times</math>i(x) <br />
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− | ::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br />
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− | e) Spiegelung an der y-Achse <br />
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− | ::l(x)=k(-x)<br />
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− | ::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br />
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− | ::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br />
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− | </popup>
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− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
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− | Finde die passenden Paare. <br />
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− | <div class="memo-quiz">
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− | | <big> '''Spiegelung an der x-Achse'''</big> || [[Bild:Memory Streckung1.png|120px]]
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− | | <big> '''Spiegelung an der y-Achse'''</big> || [[Bild:Memory Sreckung2neu.png|120px]]
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− | | <big> '''Streckung in x-Richtung'''</big> || [[Bild:Memory Streckung3.png|120px]]
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− | | <big> '''Streckung in y-Richtung'''</big> || [[Bild:Memory Streckung4.png|120px]]
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− | </div> <br />
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− | [[Facharbeit Florian Wilk/Symmetrie von Funktionsgraphen|Weiter zum Kapitel Symmetrie von Funktionsgraphen]]
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− | [[Facharbeit Florian Wilk|Zurück zur Übersicht]]
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g?
Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst.
Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor