Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h? | + | Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h? <br /> <br /> <br /> |
'''Erklärung:''' Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um <span style="color: red">3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben)</span> verschoben. <br /> Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)<span style="color: red">+3</span>. <br /> <br /> | '''Erklärung:''' Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um <span style="color: red">3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben)</span> verschoben. <br /> Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)<span style="color: red">+3</span>. <br /> <br /> | ||
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Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span> <math>\rightarrow</math> h(x)=f(x)+3 <br /> | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span> <math>\rightarrow</math> h(x)=f(x)+3 <br /> | ||
::: h(2)=<span style="color: green">f(2)</span><span style="color: red">+3</span> <br /> | ::: h(2)=<span style="color: green">f(2)</span><span style="color: red">+3</span> <br /> | ||
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== 2.Verschiebung nach rechts/links == | == 2.Verschiebung nach rechts/links == | ||
'''Problemstellung:''' Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen? | '''Problemstellung:''' Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen? | ||
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| − | '''Erklärung:''' Eine Verschiebung des Graphen <span style="color: red">um 3 Einheiten in positiver x-Richtung</span> (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.<br /> Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>). | + | |
| + | '''Erklärung:''' Eine Verschiebung des Graphen <span style="color: red">um 3 Einheiten in positiver x-Richtung</span> (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.<br /> Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>). <br /> <br /> | ||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> | ||
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:::j(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br /> | :::j(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br /> | ||
:::<span style="color: green">j(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br /> | :::<span style="color: green">j(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br /> | ||
| − | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. | + | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br /> |
Version vom 16. Januar 2010, 22:13 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Verschieben von Funktionsgraphen
1.Verschiebung nach oben/unten
Problemstellung:
Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?
Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.
- f(2)=8
- f(2)=8
Verschiebung um 3 Einheiten nach oben 
h(x)=f(x)+3
- h(2)=f(2)+3
- h(2)=8+3
- h(2)=11
- h(2)=f(2)+3
2.Verschiebung nach rechts/links
Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x3+2x2 um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen?
Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).
- x=1 f(1)=3
- x=1
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:
- j(x)=f(x-3)
- j(x)=(x-3)3+2(x-3)2
- j(4)=(4-3)3+2(4-3)2
- j(4)=1+2=3=f(1)
- j(x)=f(x-3)
Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.
3.Beispielaufagben
Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.
Ausgangsfunktion:
a) 
b) 
c) 
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