2010 III: Unterschied zwischen den Versionen
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<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=8399f64c8fdd93c9528fd4e35c5201a9 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2010 LK Mathematik Bayern'''] </center> | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=8399f64c8fdd93c9528fd4e35c5201a9 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2010 LK Mathematik Bayern'''] </center> | ||
<center>Lösung von [[Benutzer:Deininger_Matthias| Matthias Deininger]]</center> | <center>Lösung von [[Benutzer:Deininger_Matthias| Matthias Deininger]]</center> | ||
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</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> | ||
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'''a)''' Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander | '''a)''' Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander | ||
eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn | eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn | ||
− | die Autos unterschieden werden? | + | die Autos unterschieden werden? (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 herannahenden Fahrzeuge hat eine Wahlmöglichkeit zwischen den drei möglichen Haltespuren.<br> | Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 herannahenden Fahrzeuge hat eine Wahlmöglichkeit zwischen den drei möglichen Haltespuren.<br> | ||
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<math>n^k = 3^{13} = 1594323\ </math><br> | <math>n^k = 3^{13} = 1594323\ </math><br> | ||
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− | '''Antwort:''' Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 verschiedene Möglichkeiten sich auf den drei Fahrspuren anzuordnen.<br> | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 verschiedene Möglichkeiten sich auf den drei Fahrspuren anzuordnen.<br></div> |
<div style="text-align:center;">[[Bild:Abi2010_Ampel1.png| 150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet1.png|150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet2.png|150px]] | <div style="text-align:center;">[[Bild:Abi2010_Ampel1.png| 150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet1.png|150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet2.png|150px]] | ||
<br>''Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.''</div> | <br>''Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.''</div> | ||
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'''b)''' Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur | '''b)''' Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur | ||
− | ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen? | + | ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen? (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst. <br> | Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst. <br> | ||
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<math>(3\cdot 2\cdot 1)^4\cdot 3 =(3!)^4\cdot 3 = 3888\ </math><br> | <math>(3\cdot 2\cdot 1)^4\cdot 3 =(3!)^4\cdot 3 = 3888\ </math><br> | ||
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− | '''Antwort:''' Wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen, so ergeben sich 3888 unterscheidbare Anordnungen für die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos. | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen, so ergeben sich 3888 unterscheidbare Anordnungen für die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos.</div> |
</td> | </td> | ||
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'''a)''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | '''a)''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | ||
− | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt. | + | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt. <br>(5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
<table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
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<td >Betrachtet man die in der Tabelle gegebenen möglichen Verzögerungen für die einzelnen Autos, so zeigt sich, dass lediglich zwei verschiedene Zusammensetzungen der Summe möglich sind, die beim vierten Auto der Schlange eine Verzögerung von 7,0 Sekunden ergeben. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der einzelnen Verzögerungszeiten der Fahrzeuge noch variiert werden kann. <br> | <td >Betrachtet man die in der Tabelle gegebenen möglichen Verzögerungen für die einzelnen Autos, so zeigt sich, dass lediglich zwei verschiedene Zusammensetzungen der Summe möglich sind, die beim vierten Auto der Schlange eine Verzögerung von 7,0 Sekunden ergeben. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der einzelnen Verzögerungszeiten der Fahrzeuge noch variiert werden kann. <br> | ||
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− | (I) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 2,0 s + 1,0 s <br> | + | (I) '''7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 2,0 s + 1,0 s''' <br> |
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oder | oder | ||
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− | (II) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 1,5 s + 1,5 s<br> | + | <br> |
+ | (II) '''7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 1,5 s + 1,5 s'''<br> | ||
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Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen: | Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen: | ||
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P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = 0,002 + 0,0024 = 0,0044 = 0,44%<br> | P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = 0,002 + 0,0024 = 0,0044 = 0,44%<br> | ||
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− | '''Antwort:''' Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in |
− | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt, beträgt 0,44%. | + | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt, beträgt 0,44%.</div> |
</td> | </td> | ||
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'''b)''' Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer | '''b)''' Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer | ||
Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die | Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die | ||
− | Varianz von V. | + | Varianz von V. (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
''V: Verzögerungen in Sekunden<br>'' | ''V: Verzögerungen in Sekunden<br>'' | ||
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<math>E(V) = 0,5\cdot 0,2 + 1,0 \cdot 0,5 + 1,5\cdot 0,2 + 2,0\cdot 0,1 = 1,1</math><br> | <math>E(V) = 0,5\cdot 0,2 + 1,0 \cdot 0,5 + 1,5\cdot 0,2 + 2,0\cdot 0,1 = 1,1</math><br> | ||
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− | '''Antwort: Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden. | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden.</div> |
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Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf | Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf | ||
Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig | Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig | ||
− | voneinander angenommen werden. | + | voneinander angenommen werden. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
''Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange'' <br> | ''Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange'' <br> | ||
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− | '''Antwort:''' Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren. | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren.</div> |
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− | '''Antwort:''' Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975. | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975.</div> |
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'''a)''' Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit | '''a)''' Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit | ||
dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 | dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 | ||
− | Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht. | + | Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | ||
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<br> | <br> | ||
'''b)''' Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund | '''b)''' Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund | ||
− | der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden? | + | der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden? <br>(2 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | ||
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20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von | 20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von | ||
220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? | 220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? | ||
− | Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung. | + | Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung. (6 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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<math>\overline {A_0} =\{222;...;1000 \} </math><br> | <math>\overline {A_0} =\{222;...;1000 \} </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich <math>A_0 =\{0;...;221 \}\ </math>, daher | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich <math>A_0 =\{0;...;221 \}\ </math>, daher |
− | kann die Hypothese des Finanzministers auf einem Signifikanzniveau von 5 % <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>! | + | kann die Hypothese des Finanzministers auf einem Signifikanzniveau von 5 % <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>!</div> |
</div> | </div> | ||
'''Variante 2:'''<br> | '''Variante 2:'''<br> | ||
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<math> = 1- \phi \left( \frac{ 19,5}{\sqrt{160}}\right)= 1- \phi (1,54) =^{TW} 1- 0,93822 =0,06178 = 6,178% \not\le \alpha </math><br> | <math> = 1- \phi \left( \frac{ 19,5}{\sqrt{160}}\right)= 1- \phi (1,54) =^{TW} 1- 0,93822 =0,06178 = 6,178% \not\le \alpha </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' Bei 220 EAK kann <math>p_0 \le 0,2</math> auf dem 5% Signifikanzniveau <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>! | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Bei 220 EAK kann <math>p_0 \le 0,2</math> auf dem 5% Signifikanzniveau <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>!</div> |
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}} | }} | ||
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'''a)''' Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der | '''a)''' Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der | ||
Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den | Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den | ||
− | Frauen größer ist als unter den Männern. | + | Frauen größer ist als unter den Männern. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P_{w}</math>(GÜ) bzw. <math> P_{m}</math>(GÜ) zu bestimmen und zu zeigen, dass sowohl bei Kontrollstelle A als auch bei Stelle B gilt:<br> | Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P_{w}</math>(GÜ) bzw. <math> P_{m}</math>(GÜ) zu bestimmen und zu zeigen, dass sowohl bei Kontrollstelle A als auch bei Stelle B gilt:<br> | ||
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fahren als Männer.“ Untersuchen Sie, ob der Anteil derjenigen, die die | fahren als Männer.“ Untersuchen Sie, ob der Anteil derjenigen, die die | ||
Geschwindigkeit übertreten haben, unter allen kontrollierten Frauen | Geschwindigkeit übertreten haben, unter allen kontrollierten Frauen | ||
− | tatsächlich größer ist als unter allen kontrollierten Männern. | + | tatsächlich größer ist als unter allen kontrollierten Männern. (5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden. | Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden. | ||
Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist.<br> | Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist.<br> | ||
<br> | <br> | ||
− | <math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({w}_A\cap GU) + P({w}_B\cap GU)}{3\cdot P ({w}_A) + P({w}_B})\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,2 + 0,32}{3\cdot 0,8 + 0,4}\right) | + | <math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({w}_A\cap GU) + P({w}_B\cap GU)}{3\cdot P({w}_A) + {P({w}_B})}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,2 + 0,32}{3\cdot 0,8 + 0,4}\right) \approx 0,3286 = 32,86% </math><br> |
− | <math>P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({m}_A\cap GU) + P({m}_B\cap GU)}{3\cdot P({m}_A) + P({m}_B)\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,04 + 0,4}{3\cdot 0,2 + 0,6}\right) = 0,4\overline {3} = 43,\overline {3}% </math><br> | + | <math>P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({m}_A\cap GU) + P({m}_B\cap GU)}{3\cdot P({m}_A) + {P({m}_B})}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,04 + 0,4}{3\cdot 0,2 + 0,6}\right) = 0,4\overline {3} = 43,\overline {3}% </math><br> |
<br> | <br> | ||
<math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) <math>< P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ)<br> | <math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) <math>< P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ)<br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' Der Prozentanteil derjenigen, die die Geschwindigkeit überschritten haben, ist unter allen kontrollierten Frauen in der Gesamtbetrachtung beider Kontrollstellen <u>''kleiner''</u> als unter allen kontrollierten Männern!<br> | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Prozentanteil derjenigen, die die Geschwindigkeit überschritten haben, ist unter allen kontrollierten Frauen in der Gesamtbetrachtung beider Kontrollstellen <u>''kleiner''</u> als unter allen kontrollierten Männern!<br></div> |
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Aktuelle Version vom 27. Februar 2011, 22:22 Uhr
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An einer Ampel stehen Autos hintereinander. Die Ampel schaltet auf
Grün. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass ein Auto erst
nach einer gewissen zeitlichen Verzögerung gegenüber dem Auto anfährt,
das in der Schlange vor ihm steht. Für die möglichen zeitlichen Verzögerungen
sind in diesem Modell vier verschiedene Werte vorgesehen. Die
folgende Tabelle gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie jeweils
eintreten.
Diese Tabelle gibt auch die im Modell möglichen zeitlichen
Verzögerungen zwischen dem Umschalten der Ampel auf Grün und dem
Anfahren des ersten Autos sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.
V: Verzögerungen in Sekunden Berechnung des Erwartungswertes:
Antwort: Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden.
Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange Antwort: Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren.
Antwort: Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975.
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Durch eine Befragung soll der Anteil p der Pkw-Halter abgeschätzt
werden, die bereit wären, ein Elektroauto zu kaufen, wenn dies vom Staat
mit 2500 € bezuschusst wird. Dazu werden 1000 zufällig ausgewählte
Pkw-Halter befragt. Wer mit „Ja“ antwortet, wird als Elektroautokäufer
(kurz: EAK) bezeichnet.
Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist.
Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist.
Signifikanztest
Antwort: 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich
![]() Variante 2:
Antwort: Bei 220 EAK kann
![]() |
An zwei verschiedenen Stellen A und B in einer Stadt wurden Geschwindigkeitskontrollen
durchgeführt. Dabei wurden an der Stelle A dreimal so
viele Autos kontrolliert wie an der Stelle B. Die folgenden Tabellen geben
Auskunft über die dabei gemachten Beobachtungen (GÜ steht für
Geschwindigkeitsübertretung, männlich bzw. weiblich für das Geschlecht
des jeweiligen Fahrzeuglenkers):
a) Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den Frauen größer ist als unter den Männern. (4 BE) Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten
Anmerkung : GÜ ![]() ![]()
Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden.
Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist. Antwort: Der Prozentanteil derjenigen, die die Geschwindigkeit überschritten haben, ist unter allen kontrollierten Frauen in der Gesamtbetrachtung beider Kontrollstellen kleiner als unter allen kontrollierten Männern! |