2010 III: Unterschied zwischen den Versionen
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'''a)''' Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander | '''a)''' Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander | ||
eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn | eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn | ||
− | die Autos unterschieden werden? | + | die Autos unterschieden werden? (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | + | Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 herannahenden Fahrzeuge hat eine Wahlmöglichkeit zwischen den drei möglichen Haltespuren.<br> | |
− | + | ||
− | Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 | + | |
<br> | <br> | ||
n = 3 <br> | n = 3 <br> | ||
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<math>n^k = 3^{13} = 1594323\ </math><br> | <math>n^k = 3^{13} = 1594323\ </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 verschiedene Möglichkeiten sich auf den drei Fahrspuren anzuordnen.<br></div> |
<div style="text-align:center;">[[Bild:Abi2010_Ampel1.png| 150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet1.png|150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet2.png|150px]] | <div style="text-align:center;">[[Bild:Abi2010_Ampel1.png| 150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet1.png|150px]] [[Bild:Abi2010_Ampel_ungeordnet2.png|150px]] | ||
<br>''Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.''</div> | <br>''Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.''</div> | ||
<br> | <br> | ||
− | |||
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}} | }} | ||
<br> | <br> | ||
'''b)''' Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur | '''b)''' Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur | ||
− | ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen? | + | ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen? (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst. <br> | Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst. <br> | ||
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<tr> | <tr> | ||
<td > Das erste Auto, das an die Ampel fährt, kann frei zwischen den drei Fahrspuren wählen. </td> | <td > Das erste Auto, das an die Ampel fährt, kann frei zwischen den drei Fahrspuren wählen. </td> | ||
− | <td>Bereits das 2 Fahrzeug unterliegt jedoch der Einschränkung, dass es sich nur noch zwischen den zwei noch leeren Fahrspuren | + | <td>Bereits das 2. Fahrzeug unterliegt jedoch der Einschränkung, dass es sich nur noch zwischen den zwei noch leeren Fahrspuren entscheiden kann. </td> |
<td>Das dritte Fahrzeug hat nur noch die verbleibende Fahrspur zur Auswahl.</td> | <td>Das dritte Fahrzeug hat nur noch die verbleibende Fahrspur zur Auswahl.</td> | ||
− | <td> Das nachfolgende 4. Auto hingegen hat wieder die volle Auswahlmöglichkeit zwischen allen drei Fahrspuren, da jede der drei Fahrspuren bereits mit einem Fahrzeug belegt ist. Analog | + | <td> Das nachfolgende 4. Auto hingegen hat wieder die volle Auswahlmöglichkeit zwischen allen drei Fahrspuren, da jede der drei Fahrspuren bereits mit einem Fahrzeug belegt ist. Analog wiederholt sich dies bis zum 13. Fahrzeug. </td> |
</tr> | </tr> | ||
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<tr> | <tr> | ||
<td >[[Bild:Abi2010_Ampel13.png|140px]]</td> | <td >[[Bild:Abi2010_Ampel13.png|140px]]</td> | ||
− | <td style="text-align:left;"><u> | + | <td style="text-align:left;"><u>Zusammenfassend lässt sich feststellen:</u><br> |
− | Drei | + | Drei aufeinanderfolgende Fahrzeuge können sich auf <math>3\cdot 2\cdot 1 = 3!</math> verschiedene Arten an der Ampel anordnen. Diese drei Autos werden nachfolgend zu einer Gruppe zusammengefasst. Bei insgesamt 13 Autos gibt es 4 solche Gruppen zuzüglich dem 13. Auto, das wie im Bild verdeutlicht, erneut 3 Wahlmöglichkeiten hat. |
Anzahl der unterscheidbaren Aufteilungen unter Beachtung der Bedingung aus Aufgabe 1b: | Anzahl der unterscheidbaren Aufteilungen unter Beachtung der Bedingung aus Aufgabe 1b: | ||
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<math>(3\cdot 2\cdot 1)^4\cdot 3 =(3!)^4\cdot 3 = 3888\ </math><br> | <math>(3\cdot 2\cdot 1)^4\cdot 3 =(3!)^4\cdot 3 = 3888\ </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' Wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen, so ergeben sich 3888 unterscheidbare | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen, so ergeben sich 3888 unterscheidbare Anordnungen für die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos.</div> |
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
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<br> | <br> | ||
'''a)''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | '''a)''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | ||
− | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt. | + | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt. <br>(5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
<table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
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<tr> | <tr> | ||
<td >[[Bild:Abi2010_Ampelautoschlange.png]]</td> | <td >[[Bild:Abi2010_Ampelautoschlange.png]]</td> | ||
− | <td >Betrachtet man die in der Tabelle gegebenen möglichen Verzögerungen für die einzelnen Autos, so zeigt sich, dass lediglich zwei verschiedene Zusammensetzungen der Summe möglich sind, die beim vierten Auto der Schlange eine Verzögerung von 7,0 Sekunden ergeben. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der einzelnen Verzögerungszeiten der Fahrzeuge noch variiert werden | + | <td >Betrachtet man die in der Tabelle gegebenen möglichen Verzögerungen für die einzelnen Autos, so zeigt sich, dass lediglich zwei verschiedene Zusammensetzungen der Summe möglich sind, die beim vierten Auto der Schlange eine Verzögerung von 7,0 Sekunden ergeben. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der einzelnen Verzögerungszeiten der Fahrzeuge noch variiert werden kann. <br> |
<br> | <br> | ||
− | (I) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 2,0 s + 1,0 s <br> | + | (I) '''7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 2,0 s + 1,0 s''' <br> |
<br> | <br> | ||
oder | oder | ||
<br> | <br> | ||
− | (II) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 1,5 s + | + | <br> |
+ | (II) '''7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 1,5 s + 1,5 s'''<br> | ||
<br> | <br> | ||
Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen: | Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen: | ||
− | Wie gerade gezeigt, existieren zwei Ereignisse, die als Summe die gewünschten 7,0 Sekunden liefern | + | Wie gerade gezeigt, existieren zwei Ereignisse, die als Summe die gewünschten 7,0 Sekunden liefern. Folglich müssen die, zu den Ereignissen gehörigen Wahrscheinlichkeiten addiert werden, um die geforderte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. |
Aus der Tabelle lassen sich die Wahrscheinlichkeiten zu den entsprechenden Verzögerungszeiten ermitteln und einsetzen. | Aus der Tabelle lassen sich die Wahrscheinlichkeiten zu den entsprechenden Verzögerungszeiten ermitteln und einsetzen. | ||
− | P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4 Autos") = P("Ereignis I tritt ein") + P("Ereignis II tritt ein")<br> | + | P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = P("Ereignis I tritt ein") + P("Ereignis II tritt ein")<br> |
<br> | <br> | ||
P("Ereignis I tritt ein") = <math>{4 \choose 3}\cdot (0,1)^3\cdot (0,5)^1 = {4 \choose 1}\cdot (0,5)^1\cdot (0,1)^3 = 0,002</math><br> | P("Ereignis I tritt ein") = <math>{4 \choose 3}\cdot (0,1)^3\cdot (0,5)^1 = {4 \choose 1}\cdot (0,5)^1\cdot (0,1)^3 = 0,002</math><br> | ||
− | <br | + | <br> |
P("Ereignis II tritt ein") = <math>{4 \choose 2}\cdot (0,1)^2\cdot (0,2)^2 = 0,0024</math><br> | P("Ereignis II tritt ein") = <math>{4 \choose 2}\cdot (0,1)^2\cdot (0,2)^2 = 0,0024</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4 Autos") = 0,002 + 0,0024 = 0,0044 = 0,44%<br> | + | P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = 0,002 + 0,0024 = 0,0044 = 0,44%<br> |
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in |
− | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt, beträgt 0,44%. | + | der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt, beträgt 0,44%.</div> |
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
Zeile 174: | Zeile 170: | ||
'''b)''' Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer | '''b)''' Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer | ||
Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die | Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die | ||
− | Varianz von V. | + | Varianz von V. (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
''V: Verzögerungen in Sekunden<br>'' | ''V: Verzögerungen in Sekunden<br>'' | ||
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<math>E(V) = 0,5\cdot 0,2 + 1,0 \cdot 0,5 + 1,5\cdot 0,2 + 2,0\cdot 0,1 = 1,1</math><br> | <math>E(V) = 0,5\cdot 0,2 + 1,0 \cdot 0,5 + 1,5\cdot 0,2 + 2,0\cdot 0,1 = 1,1</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort: Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden. | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden.</div> |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 196: | Zeile 192: | ||
Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf | Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf | ||
Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig | Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig | ||
− | voneinander angenommen werden. | + | voneinander angenommen werden. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
''Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange'' <br> | ''Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange'' <br> | ||
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<br> | <br> | ||
<math>E(Z) = E(V_1) + E(V_2) + E(V_3) + E(V_4) + E(V_5) = 5\cdot E(V) = 5\cdot 1,1 = 5,5</math> | <math>E(Z) = E(V_1) + E(V_2) + E(V_3) + E(V_4) + E(V_5) = 5\cdot E(V) = 5\cdot 1,1 = 5,5</math> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren.</div> | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
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<br> | <br> | ||
<math>\sigma(z) = \sqrt{Var(Z)} = \sqrt{0,95} \approx 0,975</math> | <math>\sigma(z) = \sqrt{Var(Z)} = \sqrt{0,95} \approx 0,975</math> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975.</div> | ||
+ | <br> | ||
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}} | }} | ||
<br> | <br> | ||
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'''a)''' Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit | '''a)''' Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit | ||
dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 | dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 | ||
− | Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht. | + | Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | + | Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | |
}} | }} | ||
<br> | <br> | ||
'''b)''' Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund | '''b)''' Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund | ||
− | der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden? | + | der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden? <br>(2 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | + | Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist. | |
}} | }} | ||
<br> | <br> | ||
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20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von | 20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von | ||
220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? | 220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? | ||
− | Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung. | + | Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung. (6 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 264: | Zeile 268: | ||
N = 1000<br> | N = 1000<br> | ||
Nullhypothese: <math>p_0 \le 0,2</math><br> | Nullhypothese: <math>p_0 \le 0,2</math><br> | ||
− | Gegenhypothese: <math> | + | Gegenhypothese: <math>p_1 > 0,2\ </math><br> |
Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05\ </math><br> | Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05\ </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
Bei dieser Teilaufgabe gibt es zwei mögliche Lösungsansätze.<br> | Bei dieser Teilaufgabe gibt es zwei mögliche Lösungsansätze.<br> | ||
− | Einerseits kann man die Entscheidungsregel auf dem gegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05</math> bestimmen und anschließend untersuchen, ob 220 die Entscheidungsregel erfüllt, | + | Einerseits kann man die Entscheidungsregel auf dem gegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05</math> bestimmen und anschließend untersuchen, ob 220 die Entscheidungsregel erfüllt, andererseits kann man davon ausgehen, dass bei 220 die Nullhypothese abgelehnt wird, somit ist die Entscheidungsregel definiert. Anschließend überprüft man, ob das angegebene Signifikanzniveau mit dieser Entscheidungsregel erfüllt ist.<br> |
<br> | <br> | ||
'''Variante 1:'''<br> | '''Variante 1:'''<br> | ||
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</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
− | <td><math> | + | <td><math>p_1 > 0,2\ </math></td> |
<td><math>\overline {A_0} =\{k+1;...;1000 \} </math></td> | <td><math>\overline {A_0} =\{k+1;...;1000 \} </math></td> | ||
<td></td> | <td></td> | ||
Zeile 291: | Zeile 295: | ||
<br> | <br> | ||
Erwartungswert: <math>\mu = N \cdot p_0 = 1000\cdot 0,2 = 200 </math><br> | Erwartungswert: <math>\mu = N \cdot p_0 = 1000\cdot 0,2 = 200 </math><br> | ||
− | + | Standardabweichung: <math>\sigma = \sqrt{N\cdot p_0 \cdot (1-p_0)} = \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} = \sqrt{160}</math> | |
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
Zeile 313: | Zeile 317: | ||
<math>\overline {A_0} =\{222;...;1000 \} </math><br> | <math>\overline {A_0} =\{222;...;1000 \} </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | '''Antwort:''' 220 EAK liegen | + | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich <math>A_0 =\{0;...;221 \}\ </math>, daher |
− | kann | + | kann die Hypothese des Finanzministers auf einem Signifikanzniveau von 5 % <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>!</div> |
− | 220 EAK auf | + | </div> |
+ | '''Variante 2:'''<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <table border="0" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td ></td> | ||
+ | <td >Entscheidungsregel</td> | ||
+ | <td ></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td ><math>p_0 \le 0,2</math></td> | ||
+ | <td ><math>A_0 =\{0;...;219 \}\ </math></td> | ||
+ | <td ><math>P^{1000}_{0,2}(X>219)</math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td><math>p_1 > 0,2\ </math></td> | ||
+ | <td><math>\overline {A_0} =\{220;...;1000 \} </math></td> | ||
+ | <td></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
+ | <br> | ||
+ | Erwartungswert: <math>\mu = N \cdot p_0 = 1000\cdot 0,2 = 200 </math><br> | ||
+ | Standardabeweichung: <math>\sigma = \sqrt{N\cdot p_0 \cdot (1-p_0)} = \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} = \sqrt{160}</math> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>P^{1000}_{0,2}(X>219) = </math> | ||
+ | <math> 1- P^{1000}_{0,2}(X\le 219)</math><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <u>Nährung mit der Normalverteilung:</u><br> | ||
+ | <div style ="text-align:center;"><br> | ||
+ | <math>\approx 1- \phi \left( \frac{ 219- 200 +0,5 }{\sqrt{160}} \right) =</math><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math> = 1- \phi \left( \frac{ 19,5}{\sqrt{160}}\right)= 1- \phi (1,54) =^{TW} 1- 0,93822 =0,06178 = 6,178% \not\le \alpha </math><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Bei 220 EAK kann <math>p_0 \le 0,2</math> auf dem 5% Signifikanzniveau <u>'''nicht abgelehnt werden'''</u>!</div> | ||
</div> | </div> | ||
}} | }} | ||
Zeile 382: | Zeile 420: | ||
'''a)''' Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der | '''a)''' Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der | ||
Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den | Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den | ||
− | Frauen größer ist als unter den Männern. | + | Frauen größer ist als unter den Männern. (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
+ | Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P_{w}</math>(GÜ) bzw. <math> P_{m}</math>(GÜ) zu bestimmen und zu zeigen, dass sowohl bei Kontrollstelle A als auch bei Stelle B gilt:<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>P_{w}</math>(GÜ)<math> > P_{m}</math>(GÜ)<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <table border="0" cellpadding="5" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> | ||
+ | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td >Stelle A</td> | ||
+ | <td >GÜ</td> | ||
+ | <td >keine GÜ</td> | ||
+ | <td ></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>männlich</td> | ||
+ | <td>4 %</td> | ||
+ | <td>16 %</td> | ||
+ | <td>20 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>weiblich</td> | ||
+ | <td>20 %</td> | ||
+ | <td>60 %</td> | ||
+ | <td>80 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> </td> | ||
+ | <td>24 %</td> | ||
+ | <td>76 %</td> | ||
+ | <td>100 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
+ | </td> | ||
+ | <td> | ||
+ | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td >Stelle B</td> | ||
+ | <td >GÜ</td> | ||
+ | <td >keine GÜ</td> | ||
+ | <td ></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>männlich</td> | ||
+ | <td>40 %</td> | ||
+ | <td>20 %</td> | ||
+ | <td>60 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>weiblich</td> | ||
+ | <td>32 %</td> | ||
+ | <td>8 %</td> | ||
+ | <td>40 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> </td> | ||
+ | <td>72 %</td> | ||
+ | <td>28 %</td> | ||
+ | <td>100 %</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
+ | </td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
+ | ''Anmerkung : GÜ <math>\widehat{=} </math> GU''<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | '''Betrachtung der Stelle A:'''<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>P_{{w}_A}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ P(w_{A}\cap GU)}{P(w_{A})}\right) = \left( \frac{ 0,2}{0,2+0,6}\right) = 0,25 = 25% </math><br> | ||
+ | <math>P_{{m}_A}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ P(m_{A}\cap GU)}{P(m_{A})}\right) = \left( \frac{ 0,04}{0,04+0,16}\right) = 0,2 = 20% </math><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | => <math>P_{{w}_A}</math>(GÜ)<math> > P_{{m}_A}</math>(GÜ)<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | '''Betrachtung der Stelle B:'''<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>P_{{w}_B}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ P({w}_B\cap GU)}{P({w}_B)}\right) = \left( \frac{ 0,32}{0,32+0,08}\right) = 0,8 = 80% </math><br> | ||
+ | <math>P_{{m}_B}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ P({m}_B\cap GU)}{P({m}_B)}\right) = \left( \frac{ 0,4}{0,4+0,2}\right) = 0,\overline {6} = 66,\overline {6}% </math><br> | ||
+ | => <math>P_{{w}_B}</math>(GÜ)<math> > P_{{m}_B}</math>(GÜ)<br> | ||
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− | + | Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden. | |
+ | Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist.<br> | ||
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+ | <math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({w}_A\cap GU) + P({w}_B\cap GU)}{3\cdot P({w}_A) + {P({w}_B})}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,2 + 0,32}{3\cdot 0,8 + 0,4}\right) \approx 0,3286 = 32,86% </math><br> | ||
+ | <math>P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ) = <math>\left( \frac{ 3\cdot P({m}_A\cap GU) + P({m}_B\cap GU)}{3\cdot P({m}_A) + {P({m}_B})}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,04 + 0,4}{3\cdot 0,2 + 0,6}\right) = 0,4\overline {3} = 43,\overline {3}% </math><br> | ||
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+ | <math>P_{{w}_{gesamt}}</math>(GÜ) <math>< P_{{m}_{gesamt}}</math>(GÜ)<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div style="color:#0A910F;">'''Antwort:''' Der Prozentanteil derjenigen, die die Geschwindigkeit überschritten haben, ist unter allen kontrollierten Frauen in der Gesamtbetrachtung beider Kontrollstellen <u>''kleiner''</u> als unter allen kontrollierten Männern!<br></div> | ||
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Aktuelle Version vom 27. Februar 2011, 22:22 Uhr
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An einer Ampel stehen Autos hintereinander. Die Ampel schaltet auf
Grün. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass ein Auto erst
nach einer gewissen zeitlichen Verzögerung gegenüber dem Auto anfährt,
das in der Schlange vor ihm steht. Für die möglichen zeitlichen Verzögerungen
sind in diesem Modell vier verschiedene Werte vorgesehen. Die
folgende Tabelle gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie jeweils
eintreten.
Diese Tabelle gibt auch die im Modell möglichen zeitlichen
Verzögerungen zwischen dem Umschalten der Ampel auf Grün und dem
Anfahren des ersten Autos sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.
V: Verzögerungen in Sekunden Berechnung des Erwartungswertes:
Antwort: Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden.
Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange Antwort: Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren.
Antwort: Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975.
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Durch eine Befragung soll der Anteil p der Pkw-Halter abgeschätzt
werden, die bereit wären, ein Elektroauto zu kaufen, wenn dies vom Staat
mit 2500 € bezuschusst wird. Dazu werden 1000 zufällig ausgewählte
Pkw-Halter befragt. Wer mit „Ja“ antwortet, wird als Elektroautokäufer
(kurz: EAK) bezeichnet.
Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist.
Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist.
Signifikanztest
Antwort: 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich
![]() Variante 2:
Antwort: Bei 220 EAK kann
![]() |
An zwei verschiedenen Stellen A und B in einer Stadt wurden Geschwindigkeitskontrollen
durchgeführt. Dabei wurden an der Stelle A dreimal so
viele Autos kontrolliert wie an der Stelle B. Die folgenden Tabellen geben
Auskunft über die dabei gemachten Beobachtungen (GÜ steht für
Geschwindigkeitsübertretung, männlich bzw. weiblich für das Geschlecht
des jeweiligen Fahrzeuglenkers):
a) Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den Frauen größer ist als unter den Männern. (4 BE) Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten
Anmerkung : GÜ ![]() ![]()
Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden.
Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist. Antwort: Der Prozentanteil derjenigen, die die Geschwindigkeit überschritten haben, ist unter allen kontrollierten Frauen in der Gesamtbetrachtung beider Kontrollstellen kleiner als unter allen kontrollierten Männern! |