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| − | ===Das pythagoreische Komma===
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| − | <br><br>Nach der 12. Quinte sollte man eigentlich wieder beim Anfangston angelangt sein. 12 Quinten sollten 7 Oktaven entsprechen.<br>
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| − | Jedoch gilt für 12 Quinten: <br><br> <math> Q^{12} = (\frac{3}{2})^{12} = 129{,}7463379;</math><br><br>
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| − | für 7 Oktaven gilt:<br><br> <math>Ok^7 = 2^7 = 128;</math>
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| − | Man sieht, dass die 12 Quinten die 7 Oktaven übertreffen.
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| − | Das pythagoreische Komma entspricht dem Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven<br><br>
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| − | <math>\frac {12 Q} {7 Ok} = \frac {(\frac {3}{2})^{12}} {2^7} = \frac {531441}{524288} </math>
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| − | Alternativ lässt sich das pythagoreische Komma auch durch die Differenz von Aptome und Leimma berechnen.<br><br>
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| − | Leimma ist der oben berechnetet Halbtonschritt (Quarte-Ditonus) = <math>\textstyle \frac {256}{243}</math><br><br>
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| − | Aptome berechnet sich aus tonus – Leimma (Ganzton-Halbton) = <math>\textstyle \frac {2187}{2048}</math><br><br>
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| − | Das Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven entspricht der Differenz aus Aptome und Leimma, also <br><br> <math>\frac{12Q}{7Ok}= A - L = \frac{2187}{2048} : \frac{256}{243} = \frac{531441}{524288};</math><br><br>
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| − | Die Differenz aus Aptome und Leimma kann man aus folgender Gegebenheit ableiten:<br>
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| − | der letzte Ton der pythagoreischen Tonleiter ist etwas höher als die Oktave. Wir haben oben folgende Formel für die pythagoreische Tonleiter definiert: <br><br> <math> H(A_u) = i^u \cdot H(A_o); u = (0),1,2,...,6;</math><br><br>
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| − | Da die pythagoreische Tonleiter nur 6 Töne hat berechnet sich die Höhe des 6. Tons wie folgt:<br><br> <math>H (A_6) = (\frac{9}{8})^6 = 2,02728653;</math><br><br>
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| − | Da wir uns nun etwas mehr als eine Oktave über unserem Ausgangston befinden, müssen wir diese wieder abziehen um die Abweichen vom Grundton festzustellen.
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| − | 2,02728653 - Ok = 2,02728653/2 = 1,013643265 <math>\leftrightarrow \textstyle \frac{531441}{524288};</math><br>
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| − | In der pythagoreischen Tonleiter befinden sich 2 Halbtonschritte. Zusammen sind sie etwas kleiner ein Ganzton, genauer gesagt wenn man von einem Ganzton zwei Halbtonschritte abzieht erhält man das pythagoreische Komma, d.h. <math> \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}</math> = pythagoreisches Komma.
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| − | Durch eine einfach Umformung lässt sich also die Behauptung A – L bestätigen:
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| − | <math> A = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}; </math>
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| − | <math>L = \frac {256}{243};</math>
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| − | Für A – L gilt also <math> \frac {\frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}}{\frac {256}{243}} = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}; .</math><br><br>
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| − | Anmerkung: In der Literatur wird für das pythagoreische Komma oft auch der Wert <math>\textstyle \frac{74}{73}</math> angegeben. Allerdings ist dieser Wert eine Näherung.
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| − | Umgerechnet in Cent beträgt das pythagoreische Komma:
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| − | <math>C = 1200 \cdot \frac {log\frac {\frac {3}{2}^{12}}{2^7}} {log 2} = 23,460039 \ Cent</math>.<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Quint-System6| ''' weiter zum pythagoreischen Quintenzirkel und der pythagoreischen C-Dur Tonleiter''']]<br><br>
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