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| − | ===Kettenbrüche:===
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| − | <br><br>„Jede reelle Zahl x element R kann auf genau eine Art durch einen Kettenbruch dargestellt
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| − | werden. Der Kettenbruch ist endlich, wenn die Zahl rational ist und unendlich, wenn sie
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| − | irrational ist.“<br><br>
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| − | Ich werde hier hautptsächlich auf die Kettenbruchentwicklung der irrationalen Zahlen eingehen, denn die Intervallverhältnisse sind ja (mit Ausnahme von Prime und Oktave) irrationale Zahlen.<br><br>
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| − | Doch was ist ein Kettenbruch?<br><br>
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| − | Im folgenden werde ich die wichtigsten Eigenschaften, vor allem in Hinsicht auf ihre musikalische Anwendung beschreiben. Eine ausführliche Beschreibung findet sich hier.<br><br>
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| − | Man kann jede reelle Zahl x ≥ 0 mit x = <math>a_0</math> + <math>r_0</math> für <math>a_0 \in \N_0 </math>, 0 ≤ <math>r_0</math> ≤ 1;<br><br>
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| − | Bsp: In unserem Fall z.B die irrationale (algebraische) Zahl <math>\sqrt {2}</math><br><br>
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| − | <math> \sqrt {2} = 1,414213562..... = 1 + 0,414213562.... a_0</math> ist das größte Ganze und <math>r_0</math> der Rest von x.<br><br>
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| − | Für <math>r_0</math> > 0 , gilt: <math>\textstyle \frac {1}{r_0} > 1.</math><br><br>
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| − | Daraus folgt: <br><br>
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| − | <math>\frac {1}{r_0} = a_1 + r_1 \ fuer \ a_1 \in \N, \ 0 \le r_1 \le 1;
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| − | </math><br>
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| − | Hierfür erhalten wir:<br><br>
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| − | <math>
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| − | x = a_0 + \frac {1}{a_1 + r_1} ;</math><br><br>
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| − | Beispiel:<br>
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| − | <math>\textstyle \frac {1}{0,414213562}</math>... = 2 + 0,414213565...
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| − | <math>\sqrt {2} </math> = 1 + <math>\textstyle \frac {1}{2 + 0,414213565...}</math> <br><br>
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| − | für <math> r_1 = 0</math> gilt <math>a_1 </math> > 0 damit ist der Kettenbruch endlich.<br><br>
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| − | <math>x = a_o + \frac {1}{a_1};</math><br><br>
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| − | wenn für <math>r_1</math> aber gilt: <math>r_1</math> >0 dann ergibt sich:<br><br>
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| − | <math>
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| − | \frac {1}{r_1} = a_2 + r_2 \ mit \ a_2 \in \N, 0 \le r_2 < 1;</math><br><br>
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| − | <math> x = a_0 + \frac {1}{\frac {a_1 + 1}{a_2 + r_2}};</math><br><br>
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| − | solange gilt <math>r_n</math> > 0 lässt sich das ganze ins unendliche fortführen.<br><br>
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| − | Wenn x irrational ist, kann die Kettenbruchentwicklung periodisch sein.<br><br> (<math>a_{n+k} = a_n \ mit \ k \in N_0</math>)<br><br>
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| − | Dies trifft genau dann zu, wenn x die reelle Lösung einer quadratischen Gleichung <math>a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \ mit \ a,b,c \in \Z \ mit \ a \not= 0 </math> <br>und insbesondere eine algebraische Zahl ist.<br>
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| − | Transzendente Zahlen haben keine periodische Kettenbruchentwicklung (Bsp. <math>\pi</math>)<br><br>
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| − | Die für uns intressante Eigenschaft der Kettenbrüche ist:<br><br>
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| − | Wenn <math>\textstyle k \in N_0</math> eine gerade Zahl ist, so gilt:<br><br>
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| − | q<sub>0</sub> < q<sub>2</sub> < … < q<sub>k</sub> <math> \le x \le </math> q<sub>k+1</sub> < … < q<sub>3</sub> < q<sub>1</sub>;<br><br>
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| − | <math>
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| − | Und \ fuer \ q_k = \frac {Z}{N}; Z \in \N_0, N \in \N</math><br>
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| − | für 0 < n ≤ N gilt für ganze Zahlen z<br>
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| − | |x – <math>\textstyle \frac {z}{n} </math> | ≥ |x – <math>\textstyle \frac {Z}{N}|;</math><br><br>
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| − | In Worten ausgedrückt: keine rationale Zahl mit einem Nenner > N, approximiert x besser als qk.3<br><br>
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| − | Nun wollen wir die reine und die gleichstufig temperierte Tonskala hier in C-Dur) betrachten:<br><br>
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| − | [[Bild:ketnattemp.png|750px]]
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| − | x gibt dabei die Anzahl der Halbtöne an (vgl Grafik temperierte Stimmung)<br>
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| − | y ist die musikalische Tonbezeichnung<br>
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| − | H(y) ist das Verhältnis der Tonhöhe zu H(c).<br><br>
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| − | Hier erkennt man, dass die reine Tonskala sich aus der nur mathematisch begründeten gleichstufig temperierten Stimmung durch das Prinzip der Kettenbruch-Approximation ableiten lässt.<br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Vergleich der Stimmungen| ''weiter zum Vergleich der Stimmungen'']]<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]
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