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| − | ===Die Gleichstufig temperierte Stimmung:===
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| − | <br><br>Es wurde eine Tonskala postuliert, die für den j-ten Ton <math>v_j</math>, mit 2 noch zu bestimmenden Konstanten k und l folgende Gleichung erfüllt:<br><br>
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| − | <math>log \ H(v_j) = k\cdot j + l; j = 0,+-1,+-2,+-3,...;</math><br><br>
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| − | Des weiteren sollte folgendes gelten: <math>\textstyle H(v_{12}) = 2 \cdot H (v_o);</math> da man die Oktave in 12 Halbtonschritte einteilen wollte. Deshalb gitl für l: <br><br>
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| − | <math>l = H(v_0) und \ k = log \ 2^\frac {1}{12};</math><br><br>
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| − | Daraus erhält man die Formel zu Berechnung aller Töne in der gleichstufig temperierten Skala:<br><br>
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| − | <math>log \ H(v_j) = log \ 2^\frac {j}{12} + log \ H(v_0);</math><br><br> wenn man nun substituiert mit q := <math>\textstyle 2^\frac {1}{12}</math> erhält man:<br><br>
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| − | <math>H(v_j) = q^j \cdot H(v_0); </math> j = 0, +-1,+-2,+-3, … <br><br>
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| − | Es war also nun ein Kompromiss nötig: man verzichtete etwas auf die Reinheit der Intervalle und schuf dafür Intervalle mit gleichen Abständen, unabhängig von Tonarten. Jeder Halbton sollte als das gleich Frequenzverhältnis haben.<br><br>
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| − | Um die Oktavspanne in 12 gleich große Töne aufzuteilen, ergibt sich für jeden Halbtonschritt:<br><br>
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| − | <math>\textstyle \sqrt[12] {2}</math> oder <math>\textstyle 2^\frac {1}{12}</math>, was einem Wert von 1,05946 entspricht.
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| − | Daraus folgt für die (wichtigsten) Intervalle bei beliebiger Wahl des Grundtons <math>A_0</math>:
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| − | A und B sind 2 Variablen für beliebige Töne und geben nicht die beiden Töne a und b wieder.<br><br>
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| − | [[Bild:temp.png|500px|]]<br><br>
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| − | X ist nicht transzendent, sondern algebraisch.<br>
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| − | Die algebraische Gleichung lautet:<br><br>
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| − | x^{12} - 2 = 0;</math><br><br>
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| − | Allerdings wird die Quinte, die vorher durch die rationale Zahl <math>\textstyle \frac {3}{2}</math> dargestellt war als unreine Quinte durch die irrationale Zahl <math> \textstyle x^{12} = 2^\frac {7}{12} = 1{,}498307077</math>.... wiedergegeben.<br><br>
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| − | Die Gleichheit cis=des, dis=es, … wird in der Musik als enharmonische Verwechslung beziechnet.<br>
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| − | Alle Intervalle (außer die Oktave) sind nun unrein, d.h. sie sind nicht schwebungsfrei (alle Quinten sind zu tief, alle Quarten zu hoch).<br>
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| − | Der Vorteil des Systems ist jedoch, das endlich ein System geschaffen wurde, das geschlossen ist und in dem alle Tonarten spielbar sind.<br>
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| − | Die gleichstufig temperierte Stimmung ist eine geschlossene Temperatur, da sich der Quintenzirkel nach der 12. Quinte schließt und nicht, wie z.b. bei der (groß-Terz) mitteltönigen Stimmung nach der 12. Quinte eine sogenannte Wolfsquinte entsteht.<br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Kettenbrüche| ''weiter zum Exkurs Kettenbrüche, ein Argument für die gleichstufig temperierte Stimmung'']]<br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Vergleich der Stimmungen| ''weiter zum Vergleich der Stimmungen'']]<br><br>
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