|
|
| (4 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| − | ===Erweiterung durch neue Töne===
| |
| | | | |
| − | Doch welches Verhältnis hat der fehlende Ton (k)?<br><br>
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac {H(k)}{H(f)} = \frac {H(k)}{H(H)} \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {H(h)}{H(c)} \cdot \frac {H(c)}{H(f)} = \frac {H(k)}{H(H)} \cdot \frac {15}{16} \cdot \frac {3}{4};</math><br><br>
| |
| − | <math>\frac {H(k)}{H(f)} = \frac {45}{64} \cdot \frac {H(k)}{H(H)};</math><br><br>
| |
| − |
| |
| − | Wenn das Intervall H – k eine reine Quinte ist, so gilt:<br><br>
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac {H(k)}{H(f)} = \frac {45}{64} \cdot \frac {3}{2} = \frac {135}{128};</math><br><br>
| |
| − |
| |
| − | Wenn es eine unreine Quinte ist, ergibt sich:<br><br>
| |
| − |
| |
| − | <math>\frac {H(k)}{H(f)} = \frac {45}{64} \cdot \frac {40}{27} = \frac {25}{24}; <1
| |
| − | </math><br><br>
| |
| − | Da in der Naturtonreihe der Ton fis dem Verhältnis <math>\textstyle \frac {25}{24}</math> entspricht, ziehen wir dieses Verhältnis für den neuen Ton heran. Also k = fis.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | Es wird definiert durch H(fis) = <math>\textstyle \frac {25}{24}</math> <math>\cdot</math> H(f);<br><br>
| |
| − |
| |
| − | Da auf dem fis wiederum keine Quinte intoniert werden kann, muss wiederum ein Ton zugefügt werden.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | <math>H(cis) = \frac {25}{24} \cdot H(c);</math><br><br>
| |
| − |
| |
| − | So wird der Tonraum um die folgenden Töne erweitert: fis, cis, gis, dis, ais.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="red:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Sie werden mit folgender Formel berechnet: H(k-is) = <math>\textstyle \frac {25}{24}</math> <math>\cdot</math> H(k); für k = f, c, g, d, a.</div><br>
| |
| − |
| |
| − | Die Töne werden als Erhöhung bezeichnet. Nun fehlen noch die Quinten abwärts, die Erniedrigungen.<br>
| |
| − | Es werden die Töne: ges, des, as, es, b (=hes) dem Tonraum nach folgendem Schema zugefügt:<br><br>
| |
| − |
| |
| − | H(k-es) = <math>\textstyle \frac {24}{25}</math> <math>\cdot</math> H(k); für k= g, d, a, e, h.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | Allerdings stimmen diese Töne nicht mit den vorher gebildeten Tönen überein.<br><br>
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac {H(ges)}{H(fis)} = \frac {H(des)}{H(cis)} = \frac {H(b)}{H(ais)} = (\frac {24}{25})^2 \cdot \frac {9}{8} = 1 + \frac {23}{625};</math><br><br>
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac {H(as)}{H(gis)} = \frac {H(es)}{H(dis)} = (\frac {24}{25})^2 \cdot \frac {10}{9} = 1 + \frac {3}{125};</math><br><br>
| |
| − |
| |
| − | Deshalb haben wir nun 10 neue Töne erhalten, somit hat sich die Anzahl der Töne innerhalb einer Oktave auf 17 erhöht. Das 17 Ton System.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | Da auf einem Clavier nun die ganzen Tasten völlig neu eingerichtet werden müssten und der Umfang des Instruments erheblich erhöhen würde, was es fast unmöglich gemacht hätte, auf diesem zu spielen.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | Deshalb wurde eine neue Stimmung entwickelt: Die mitteltönige Stimmungen.<br> [[Bild:Harpsichord.9023840.jpg|200px|thumb|Italienisches Cembalo mit „gebrochenen Obertasten“, das ohne Umstimmen ein Spielen in mehreren Tonarten (jeweils mitteltönig temperiert) ermöglicht|]]
| |
| − | Sie waren ungeschlossene Temperaturen, d.h. auch hier entsprachen den 12 Quinten keine 7 Oktaven. Am bekanntesten ist die Groß-Terz Mitteltönigkeit.<br>
| |
| − | Auf die mitteltönigen Temperaturen soll hier nicht weiter gegangen werden. Wer sich trotzdem dafür interessiert der findet hier viele interessante Informationen.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | in ihr gilt fis = ges, cis = des, gis = as, dis = es, ais = b;<br>
| |
| − | Dadurch verfälschten sich die jeweiligen Quinten. <br><br>
| |
| − |
| |
| − | Es entstand das 12-Ton-System. <br><br>
| |
| − |
| |
| − | In ihm wurde die Oktave in 12 Tönen eingeteilt, die jeweils einen Halbtonschritt Abstand hatten.<br>
| |
| − | Damit war das System Quinten- und Oktaven-vollständig. Dies steht aber nicht im Widerspruch zu dem vorher Bewiesenen, weil der Begriff der Quinte nun eine offenere Bedeutung hat.<br><br>
| |
| − |
| |
| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/12-Ton-System3| ''Mathematische Beschreibung des 12-Tonsystems'']]<br><br>
| |
| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]
| |
