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| − | ===Der Aufbau der reinen Stimmung===
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| − | <br><br>Am Beispiel der Tonart C-Dur werde ich den Aufbau der natürlichen Skala beschreiben.<br>
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| − | Wir starten beim Ton C und gehen nun eine reine Quinte aufwärts.<br>
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| − | Die reine Quinte hat das bekannte Verhältnis 3:2. Da sich Quinte und Quarte zu einer Oktave ergänzen folgt analog für die Quarte das Verhältnis 4:3 und für die Oktave 2:1.<br>
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| − | Wenn wir die größtmögliche Zahl konsonanter Intervalle erhalten wollen stehen uns für das nächste Intervall 2 Schritte zur Verfügung: die große Terz mit dem Verhältnis 5:4 oder die kleine Terz mit dem Verhältnis 6:5. „Wir wählen den ersten, weil dieser eine größere Anzahl von Konsonanzen höheren „Grades“ garantiert.“<br>
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| − | „Je niedriger die im Frequenzverhältnis vorkommenden Zahlen umso höher ist die subjektiv empfundene Konsonanz“<br>
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| − | {| class="wikitable center"
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| − | ! Intervall
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| − | ! Frequenzverhältnis
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| − | ! größte vorkommende Zahl
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| − | |-
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| − | | Prime
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| − | | 1 : 1
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| − | | 1
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| − | |-
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| − | | Oktave
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| − | | 2 : 1
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| − | | 2
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| − | |-
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| − | | Quinte
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| − | | 3 : 2
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| − | | 3
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| − | |-
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| − | | Quarte
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| − | | 4 : 3
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| − | | 4
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| − | |-
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| − | | Große Terz
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| − | | 5 : 4
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| − | | 5
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| − | |-
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| − | | Kleine Terz
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| − | | 6 : 5
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| − | | 6
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| − | |}
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| − | <br><br>
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| − | Die Terz mit dem Verhältnis 5:4 entspricht der großen Terz, also der Durterz. Das Verhältnis 6:5 entspricht der kleinen Terz, der Mollterz.<br>
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| − | In der natürlichen Stimmung ergänzen sich große und kleine Terz zu einer Quinte.<br><br>
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| − | <math> gT + kT = Q; </math> <br> <math> \frac {5}{4}\cdot \frac {6}{5} = \frac {3}{2};</math><br><br>
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| − | Den großen Ganzton erhält man, wenn man 2 Quinten nach oben geht und eine Oktave nach unten (vgl. pythagoreische Stimmung)<br><br>
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| − | <math> Q + Q - Ok = 2Q - Ok = \frac {\frac {3}{2}^2}{\frac {2}{1}}= \frac {9}{8};</math><br><br>
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| − | Der kleine Ganzton ergibt sich, wenn man von der großen Terz einen Ganzton abzieht, oder eine Oktave und große Terz nach oben geht und dann 2 Quinten nach unten geht.<br><br>
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| − | <math>gT - G = \frac {\frac {5}{4}}{\frac {9}{8}} = \frac {5}{4} \cdot \frac {8}{9} = \frac {10}{9};</math><br><br>
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| − | <math>Ok + gt - Q - Q = Ok +gt - 2Q = \frac {\frac {2}{1} \cdot \frac {5}{4}} {\frac {3}{2}^2} = \frac {10}{9};</math><br><br>
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| − | Die (große) Sexte erreicht man, wenn man eine Oktave und eine große Terz nach oben geht und anschließend eine Quinte nach unten:<br><br>
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| − | <math>Ok + gT - Q = \frac {\frac{2}{1} \cdot \frac {5}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}</math><br><br>
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| − | Die 7. Stufe der Dur-Tonleiter, die kleine Septime, ergibt sich, wenn man auf die Quinte eine große Terz setzt.<br><br>
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| − | Q + gT = große Septime = <math> \frac {3}{2} \cdot \frac {5}{4} = \frac {15}{8};</math><br><br>
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| − | Damit ergibt sich für die C-Dur Tonleiter folgendes Bild:<br><br>
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| − | [[Bild:tlrein.png]]<br><br>
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| − | Damit ergibt sich die fortlaufende Proportion (in Hertz):<br><br>
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | | c || d || e || f || g || a || h || c'
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| − | |-
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| − | | 24 || 27 || 30 || 32 || 36 || 40 || 45 || 48
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| − | |}
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| − | <br>
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| − | die wie folgt entsteht:<br>
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| − | Für c wird die Frequenz 24 Hertz (H(c) = 24 Hertz) festgelegt. Von hier rechnet man die Frequenzen der Tonleiter aus. Also für die Quinte g gilt:<br><br>
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| − | <math> H(c) \cdot \frac {3}{2} = 24 \ Hertz \cdot \frac {3}{2} = 36 \ Hertz</math>. <br>
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| − | Analog dazu werden die anderen Schritte berechnet.<br><br>
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| − | Eine fortlaufende Proportion wird immer durch die kleinst möglichsten ganzzahligen Verhältnisse der Frequenzen gebildet. (In diesem Fall aufbauend auf 24 Hertz).<br><br>
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| − | Nun müsste die Quinte, von der 2. auf die 6. Stufe (d-a), die durch die Verhältniszahlen 27 und 40 ausgedrückt wird, dem Quintverhältnis 2:3 entsprechen. Wenn man es jedoch durch eine Rechnung nachprüfen will ergibt sich folgendes:<br><br>
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| − | <math> 27 \cdot \frac {3}{2} = 40,5;</math>
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| − | <br> d.h. die Quinte zwischen d und a ist zu klein. Das Verhältnis beträgt: <math>\textstyle \frac {40}{27}</math> = <math>\textstyle {2{,}962962...}{2}</math>;<br> <br>„Das Verhältnis der reinen Quinte zur „kurzen“ Quinte lautet also <math>\textstyle \frac {40{,}5}{40}</math> oder (erweitert) <math>\textstyle \frac {81}{80}</math>“<br><br>
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| − | Diese Abweichung wird das syntonische Komma genannt.<br><br>
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| − | Die Gleichung: <math> \frac {81}{80} = 2^x \cdot \frac {3}{2}^y \cdot \frac {5}{4}^z \ fuer \ x , y , z \in \Z </math> hat die eindeutige Lösung, als "Tripellogarithmus" bezeichnet: x = -2, y = 4 und z = -1. <br><br>
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| − | Damit gilt für das Intervall i mit dem Frequenzverhältnis <math>\textstyle \frac {81}{80}</math> die Beziehung <math>i = - 2 \cdot Ok + 4 \cdot Q - T</math>. (Siehe synthonisches Komma).<br><br>
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| − | {| class="wikitable"
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| − | |-
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| − | !Intervall !!Darstellung !!Frequenzverhältnis
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| − | |-
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| − | | Oktave ||Ok (Grundintervall) || 2:1
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| − | |-
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| − | | Quinte ||Q (Grundintervall) ||3:2
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| − | |-
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| − | | Große Terz ||T (Grundintervall) ||5:4
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| − | |-
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| − | | Quarte ||Ok - Q ||4:3
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| − | |-
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| − | | Kleine Sext ||Ok - T ||8:5
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| − | |-
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| − | | Kleine Terz || Q - T ||6:5
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| − | |-
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| − | | Große Sext || Ok - (Q - T) = Ok + T - Q ||5:3
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| − | |-
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| − | | (Großer) Ganzton || Q + Q - Ok ||9:8
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| − | |-
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| − | | Kleiner Ganzton || T - G = Ok + T - Q - Q ||10:9
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| − | |-
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| − | | Kleine Septime (1. Möglichkeit) || Ok - Ganzton = 2Ok - 2Q ||16:9
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| − | |-
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| − | | Kleine Septime (2. Möglichkeit) || Ok - (kleiner Ganzton) = Q + Q - T ||9:5
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| − | |-
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| − | | Halbton || Quarte - T = Ok - Q - T ||16:15
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| − | |-
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| − | | Große Septime || Ok - Halbton = Q + T ||15:8
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| − | |-
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| − | | Syntonisches Komma || 2Ganztöne - T = 4Q - 2Ok - T || 81:80
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| − | |}
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| − | <br><br>
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| − | Wie deutlich wurde gibt es sowohl bei pythagoreischer Stimmung als auch bei der natürlichen Stimmung ein Problem mit den reinen Quinten.<br>
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| − | Es fiel auf das man eine Oktave (a, a') in keiner Weise, durch wie viele Töne auch immer teilen kann, dass das System das dabei entsteht sowohl Quinten – als auch Oktaven-vollständig ist.<br>
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| − | Dies wollen wir nun mathematisch Beweisen.<br>
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