Umformen von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
 
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
 
::(b+c):a = b:a+c:a
 
::(b+c):a = b:a+c:a
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b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
 
b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
  
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Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 
::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
 
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Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 
::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
 
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* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
 
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
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* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>  
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* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2,7+0,3n)\right]</math>  
 
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
 
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
 
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:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =  
 
:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =  
 
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:= 14z<sup>2</sup>+z-7
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* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
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* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2,7+0,3n)\right]</math> =
 
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:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =  
 
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =  
 
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =  
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
 
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
 
:(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
 
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Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
 
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
 
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: (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
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''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
 
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
 
T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
  
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(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
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(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
  
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
−
Wie ändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Länge verdoppelt, die Breite vervierfacht und die Höhe halbiert?
 
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<popup name="Lösung">
 
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V = l•b•h<br />
 
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V<sub>neu</sub> = 2•l•4•b• <math>\frac{1}{2}</math> •h = 2•4•<math>\frac{1}{2}</math>•l•b•h = 4•l•b•h<br />
 
−
Das Volumen des Quaders vervierfacht sich.
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
 
 
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
 
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
  
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[[Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]

Aktuelle Version vom 3. Februar 2016, 23:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Äquivalente Terme

Aufgabenstellung:



Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der grün markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b1=b2=b)


Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.



Einstieg addierensubtrahieren neu.jpg


Erklärung:

Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.

Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
a+b = b+a
a•b = b•a
  • Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
  • Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
a•(b+c) = a•b+a•c
für alle rationalen Zahlen a, b, c (a\neq 0) gilt:
(b+c):a = b:a+c:a

Erklärwurm.gif


Beispiel:
T(a;b)= 3a+(7b+2a)

(KG)= 3a+(2a+7b)
(AG)= (3a+2a)+7b
= 5a+7b

Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:

a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)

b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b

c)T(x)= (3+5•x)•x



Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder

Aufgabenstellung:


Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:

  • 5•x+3•x=
  • 5•x-3•x=


Erklärung:

Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x+n•x=(m+n)•x

Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x-n•x=(m-n)•x

Erklärwurm.gif


Beispiel
T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:

  • T(z)= 8•z2-7+3•z+(4•z2+2•z2)-2z
  • T(n)= 2,2•n+2,8•n2-0,25+ \left[ n(2,7+0,3n)\right]
  • T(a;b)= 4a2-2a+3b+2-8b2+a(2b+9)


Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl

Aufgabenstellung:


Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.

T(x)= (3•a)•2


Erklärung:

Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man einen der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.

(4•a)•3 = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (4•3)•a = 12•a = 12a

Erklärwurm.gif


Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.

T(a)= (14•a):2


Erklärung:

Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert.

(9•a):3 = \frac{9*a}{3} = \frac{3*a}{1} = 3 •a = 3a

Erklärwurm.gif


Beispiel:

Forme möglichst einfache Terme:

  • (-6n):2
  • 24•0,5b
  • 2m•6
  • 25y:(-0,1)
  • \left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3
  • (2y+5y-6y)•2


Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Prüfe, ob die Terme äquivalent sind

1:

T1 (x)= 5x-2x+6x

T2 (x)= 2•x•2+5x (äquivalent) (!nicht äquivalent)

2 :

T1 (y)= 4y-3•4y+15

T2 (y)= 3•5+2y-4y-6y

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

3:

T1 (y;z)= 2y-3+z

T2 (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

4:

T1 (z)= 4•\frac{3}{2} -2z

T2 (z)= 6+8z-5•20%-z•9

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

5:

T1 (r)= 3r-23 r+5-r

T2 (r)= 3•r•2 (!äquivalent) (nicht äquivalent)



Aufgabe 2:

Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe hc verdreifacht?


Aufgabe 3:

Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.


ursprünglicher Term 3x+2x2-x+3x2 7x+x x3-x2+2x3 x•x•x x+x-2x x-2x x+x+3x2
1.Vorschlag 5x2+2x [S] 7x2 [E] x+2x3 [H] x3 [T] 0 [Z] -x [E] 3x4 [?]
2.Vorschlag 6x4-3x2 [F] 8x [P] 3x3-x2 [I] 3x [L] x2-2x [E] -2x2 [R] 2x+3x2 [!]


Lösungswort: SPITZE!
(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)



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