Umformen von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. Februar 2016, 23:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Äquivalente Terme
2 Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder
3 Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl
4 Übungsaufgaben

Äquivalente Terme

Aufgabenstellung:

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der grün markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b₁=b₂=b)

Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.

Lösung anzeigen

Erklärung:

Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.

Rechengesetze:

Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:

a+b = b+a

a•b = b•a

Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:

a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c

a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c

Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:

a•(b+c) = a•b+a•c

für alle rationalen Zahlen a, b, c (a $\neq$ 0) gilt:

(b+c):a = b:a+c:a

Beispiel:
T(a;b)= 3a+(7b+2a)

^(KG)= 3a+(2a+7b)

^(AG)= (3a+2a)+7b

= 5a+7b

Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:

a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)

b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b

c)T(x)= (3+5•x)•x

Lösung anzeigen

Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder

Aufgabenstellung:

Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:

5•x+3•x=

5•x-3•x=

Lösung anzeigen

Erklärung:

Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x+n•x=(m+n)•x

Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x-n•x=(m-n)•x

Beispiel
T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:

T(z)= 8•z²-7+3•z+(4•z²+2•z²)-2z
T(n)= 2,2•n+2,8•n²-0,25+ $\left[ n(2,7+0,3n)\right]$
T(a;b)= 4a²-2a+3b+2-8b²+a(2b+9)

Lösung anzeigen

Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl

Aufgabenstellung:

Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.

T(x)= (3•a)•2

Lösung anzeigen

Erklärung:

Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man einen der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.

(4•a)•3 = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (4•3)•a = 12•a = 12a

Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.

T(a)= (14•a):2

Lösung anzeigen

Erklärung:

Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert.

(9•a):3 = $\frac{9*a}{3}$ = $\frac{3*a}{1}$ = 3 •a = 3a

Beispiel:

Forme möglichst einfache Terme:

(-6n):2
24•0,5b
2m•6
25y:(-0,1)
$\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3$
(2y+5y-6y)•2

Lösung anzeigen

Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Prüfe, ob die Terme äquivalent sind

1:

T₁ (x)= 5x-2x+6x

T₂ (x)= 2•x•2+5x (äquivalent) (!nicht äquivalent)

2 :

T₁ (y)= 4y-3•4y+15

T₂ (y)= 3•5+2y-4y-6y

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

3:

T₁ (y;z)= 2y-3+z

T₂ (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

4:

T₁ (z)= 4• $\frac{3}{2}$ -2z

T₂ (z)= 6+8z-5•20%-z•9

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

5:

T₁ (r)= 3r-2³ r+5-r

T₂ (r)= 3•r•2 (!äquivalent) (nicht äquivalent)

Aufgabe 2:

Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h_c verdreifacht?

Lösung anzeigen

Aufgabe 3:

Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.

ursprünglicher Term	3x+2x²-x+3x²	7x+x	x³-x²+2x³	x•x•x	x+x-2x	x-2x	x+x+3x²
1.Vorschlag	5x²+2x [S]	7x² [E]	x+2x³ [H]	x³ [T]	0 [Z]	-x [E]	3x⁴ [?]
2.Vorschlag	6x⁴-3x² [F]	8x [P]	3x³-x² [I]	3x [L]	x²-2x [E]	-2x² [R]	2x+3x² [!]

Lösungswort: SPITZE!
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-= <span style="color: green">Umformen von Termen</span> =
+<!--= <span style="color: green">Umformen von Termen</span> =-->
 ==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> ==
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
+'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
 {|
 ! width="910" |
 |-
 | valign="top" |
-''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
 {|
 ! width="600" |
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 Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
-</popup> </div>
+</popup>
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 <span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
+{|width="99%"
+|width="40%" style="vertical-align:top"|
 * '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
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 :für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
 ::(b+c):a = b:a+c:a
-</div>
+|width="50%" style="vertical-align:top"|
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
+|width="70%" style="vertical-align:center"|
+[[Bild:erklärwurm.gif]]
+|}
+</div>
+<br />
+''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
+<br />
 T(a;b)= 3a+(7b+2a)
 : <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)
@@ Zeile 66: / Zeile 74: @@
 b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
-c)T(a;b)= (3+5•x)•x
+c)T(x)= (3+5•x)•x
 <popup name="Lösung">
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 ==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
+<br />Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
 *5•x+3•x=
@@ Zeile 96: / Zeile 105: @@
 *5•x-3•x= 2•x= 2x
-</popup> </div>
+</popup>
 <br />
 <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
-Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
+{|width="99%"
+|width="100%" style="vertical-align:top"|
+Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 ::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
 Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
 ::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
+|width="50%" style="vertical-align:top"|
+|width="50%" style="vertical-align:center"|
+[[Bild:erklärwurm.gif]]
+|}
 </div>
 <br />
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
+''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
-T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
+<br />T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
-Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
+<br />Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
 Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
 * T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
-* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>
+* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2,7+0,3n)\right]</math>
 * T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
 <popup name="Lösung">
@@ Zeile 120: / Zeile 136: @@
 := 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =
 := 14z<sup>2</sup>+z-7
-* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
+* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2,7+0,3n)\right]</math> =
 := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
 := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
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 ==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> ==
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
-Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
+<br />Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
 T(x)= (3•a)•2
@@ Zeile 145: / Zeile 161: @@
 : = 6•a
 : = 6a
-</popup> </div>
+</popup>
 <br />
 <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
+{|width="99%"
+|width="1000%" style="vertical-align:top"|
 Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
 :(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
+|width="50%" style="vertical-align:top"|
+|width="70%" style="vertical-align:center"|
+[[Bild:erklärwurm.gif]]
+|}
 </div>
 <br />
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
 Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
@@ Zeile 166: / Zeile 189: @@
 := 7•a
 := 7a
-</popup> </div>
+</popup>
 <br />
 <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
+{|width="99%"
+|width="100%" style="vertical-align:top"|
 Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
 : (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
+|width="50%" style="vertical-align:top"|
+|width="70%" style="vertical-align:center"|
+[[Bild:erklärwurm.gif]]
+|}
 </div><br />
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
+''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
 Forme möglichst einfache Terme:
@@ Zeile 209: / Zeile 240: @@
 T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
-(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
+(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 <big>''' 3: '''</big>
@@ Zeile 236: / Zeile 267: @@
 </div>
-<br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 </div>
 <br />
 <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
-Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite verdoppelt und die dazugehörige Höhe verdreifacht?
+Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?
-</div>
+<popup name="Lösung">
+A = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub><br />
+A <sub>neu</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•2•c•3•h<sub>c</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•2•3 = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•6 = A•6 = 6A
+Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
+</popup> </div>
+<br />
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
+Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
+{| class="wikitable center"
+|- style="background: #DDFFDD;"
+! ursprünglicher Term
+! 3x+2x<sup>2</sup>-x+3x<sup>2</sup>
+! 7x+x
+! x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x<sup>3</sup>
+! x•x•x
+! x+x-2x
+! x-2x
+! x+x+3x<sup>2</sup>
+|-
+| 1.Vorschlag
+| 5x<sup>2</sup>+2x  [S]
+| 7x<sup>2</sup>  [E]
+| x+2x<sup>3</sup>  [H]
+| x<sup>3</sup>  [T]
+| 0   [Z]
+| -x  [E]
+| 3x<sup>4</sup>  [?]
+|-
+| 2.Vorschlag
+| 6x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>  [F]
+| 8x  [P]
+| 3x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>  [I]
+| 3x  [L]
+| x<sup>2</sup>-2x  [E]
+| -2x<sup>2</sup>  [R]
+| 2x+3x<sup>2</sup>  [!]
+|}
+<br />
+Lösungswort: <big><u style="color:blue;background:blue">SPITZE!  </u></big><br />(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)</div>
 <br /><br />
-[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Auflösen von Klammern|Weiter]]
+[[Lernpfad Terme/Auflösen von Klammern|Weiter zum nächsten Kapitel]]
+[[Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]

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