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| − | = <span style="color: green">Umformen von Termen</span> =
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| − | ==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> ==
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
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| − | {|
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| − | ! width="910" |
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| − | |-
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| − | | valign="top" |
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| − | ''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
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| − | {|
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| − | ! width="600" |
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| − | ! width="10" |
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| − | |-
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| − | | valign="top" |
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| − | <br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b)
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| − |
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| − |
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| − | Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
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| − | |} <br /> <br />
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| − | |
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| − | | valign="top" |
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| − | [[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]] <br /> <br />
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| − | |}
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| − |
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| − | <popup name="Lösung">
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| − |
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| − | 1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b
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| − |
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| − | 2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b
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| − |
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| − | Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
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| − | </popup> </div>
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| − |
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| − |
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| − |
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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| − | Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.
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| − | Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.
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| − |
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| − | <span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
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| − |
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| − | * '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
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| − | ::a+b = b+a
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| − | ::a•b = b•a
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| − | * '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
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| − | ::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
| |
| − | ::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
| |
| − | * '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
| |
| − | ::a•(b+c) = a•b+a•c
| |
| − | :für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
| |
| − | ::(b+c):a = b:a+c:a
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| − | </div>
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| − |
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| − |
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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| − | T(a;b)= 3a+(7b+2a)
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| − | : <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)
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| − | :<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b
| |
| − | := 5a+7b
| |
| − |
| |
| − | Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
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| − | Vereinfache nun selbst folgende Terme:
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| − |
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| − | a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
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| − |
| |
| − | b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
| |
| − |
| |
| − | c)T(a;b)= (3+5•x)•x
| |
| − |
| |
| − | <popup name="Lösung">
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| − | a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
| |
| − | :<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b)
| |
| − | :<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b
| |
| − | := 13a+9b
| |
| − |
| |
| − | b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
| |
| − | :<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b
| |
| − | : <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
| |
| − | := 6ab+20ab
| |
| − | := 26ab
| |
| − |
| |
| − | c)T(a;b)= (3+5•x)•x
| |
| − | :<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x
| |
| − | := 3x+5x<sup>2</sup>
| |
| − | </popup> </div>
| |
| − | <br /><br />
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| − |
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| − | ==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
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| − |
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
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| − | *5•x+3•x=
| |
| − |
| |
| − | *5•x-3•x=
| |
| − | <popup name="Lösung">
| |
| − | *5•x+3•x= 8•x=8x
| |
| − |
| |
| − | *5•x-3•x= 2•x= 2x
| |
| − | </popup> </div>
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| − | <br />
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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| − | Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
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| − | ::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
| |
| − |
| |
| − | Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
| |
| − | ::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
| |
| − | </div>
| |
| − | <br />
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
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| − | T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
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| − | Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
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| − | Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
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| − |
| |
| − | * T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
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| − | * T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>
| |
| − | * T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
| |
| − | <popup name="Lösung">
| |
| − |
| |
| − | * T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z =
| |
| − | := 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z =
| |
| − | := 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =
| |
| − | := 14z<sup>2</sup>+z-7
| |
| − | * T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
| |
| − | := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
| |
| − | := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
| |
| − | := 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 =
| |
| − | := 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25
| |
| − | * T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) =
| |
| − | := 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a =
| |
| − | := 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 =
| |
| − | := 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2
| |
| − | </popup> </div>
| |
| − | <br />
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| − |
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| − | ==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> ==
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| − |
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
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| − | Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
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| − |
| |
| − | T(x)= (3•a)•2
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| − | <popup name="Lösung">
| |
| − | T(x)= (3•a)•2=
| |
| − | :<sup>(AG)</sup> = 3•(a•2) =
| |
| − | :<sup>(KG)</sup> = 3•(2•a) =
| |
| − | :<sup>(AG)</sup> = (3•2)•a =
| |
| − | : = 6•a
| |
| − | : = 6a
| |
| − | </popup> </div>
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| − | <br />
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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| − | Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
| |
| − | :(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
| |
| − | </div>
| |
| − | <br />
| |
| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
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| − | Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
| |
| − |
| |
| − | T(a)= (14•a):2
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| − | <popup name="Lösung">
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| − | T(a)= (14•a):2=
| |
| − | := <math>\frac{14*a}{2}</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | := <math>\frac{7*a}{1}</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | := 7•a
| |
| − | := 7a
| |
| − | </popup> </div>
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| − | <br />
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
| |
| − | Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
| |
| − | : (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
| |
| − | </div><br />
| |
| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
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| − | Forme möglichst einfache Terme:
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| − |
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| − | * (-6n):2
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| − | * 24•0,5b
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| − | * 2m•6
| |
| − | * 25y:(-0,1)
| |
| − | * <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math>
| |
| − | * (2y+5y-6y)•2
| |
| − | <popup name="Lösung">
| |
| − |
| |
| − | * (-6n):2= <math>\frac{-6n}{2}</math> = <math>\frac{-3n}{1}</math> = -3n
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| − | * 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
| |
| − | * 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
| |
| − | * 25y:(-0,1)= <math>\frac{25y}{-0,1}</math> = <math>\frac{-250y}{1}</math> = -250y
| |
| − | * <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> = <math>\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{4x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{x}{3}\right) :3</math> = <math>\frac{x}{3} *\frac{1}{3} </math> = <math>\frac{x}{9} </math>
| |
| − | * (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y
| |
| − | </popup> </div>
| |
| − | <br />
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| − |
| |
| − | ==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
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| − | Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | <big>''' 1: '''</big>
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| − |
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| − | T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x
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| − |
| |
| − | T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x
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| − | (äquivalent) (!nicht äquivalent)
| |
| − |
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| − | <big>''' 2 : '''</big>
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| − |
| |
| − | T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15
| |
| − |
| |
| − | T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
| |
| − |
| |
| − | (!äquivalent) (nicht äquivalent)
| |
| − |
| |
| − | <big>''' 3: '''</big>
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| − |
| |
| − | T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z
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| − |
| |
| − | T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
| |
| − |
| |
| − | (äquivalent) (!nicht äquivalent)
| |
| − |
| |
| − | <big>''' 4: '''</big>
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| − |
| |
| − | T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z
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| − |
| |
| − | T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9
| |
| − |
| |
| − | (!äquivalent) (nicht äquivalent)
| |
| − |
| |
| − | <big>''' 5: '''</big>
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| − |
| |
| − | T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r
| |
| − |
| |
| − | T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2
| |
| − | (!äquivalent) (nicht äquivalent)
| |
| − |
| |
| − | </div>
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| − |
| |
| − | <br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
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| − |
| |
| − | </div>
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| − | <br />
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
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| − | Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite verdoppelt und die dazugehörige Höhe verdreifacht?
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| − | </div>
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| − | <br /><br />
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