2004 V: Unterschied zwischen den Versionen

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In einem kartesischen Koordinatensystem des R³ sind die Punkte A(-2|5|-2), B(1|2|-2), C(10|5|1) sowie die Ebene             gegeben.
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In einem kartesischen Koordinatensystem des R<sup>3</sup> sind die Punkte A(-2|5|-2), B(1|2|-2), C(10|5|1) sowie die Ebene  
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E: x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> - 4 x<sub>3</sub> + 7 = 0  gegeben.
  
  
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c) Die Parallelogrammfläche schneidet die         in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte der Punkte G und H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein.
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c) Die Parallelogrammfläche schneidet die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte der Punkte G und H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein.
  
 
[Zur Kontrolle: (4|7|0) und (7|4|0)]
 
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Die Punkte G und H liegen in Verlängerung der Parallelogrammseiten. Man stellt die Gerade durch A und B auf. <math> \vec a + \vec AB = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math> liefert keine Lösung, da die dritte Koordinate nicht Null werden kann. Analog dazu die Gerade durch C und D <math> \vec c + \vec CD =  \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math>
  
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d) In welchem Verhältnis wird die Fläche des Parallelogramms durch die       geteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Das Gleiche macht man nun mit Gerade durch A und D <math> \vec a + \vec AD = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math> und erhält für x = 4 und für y = 7 <math>\Rightarrow \vec{p1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Nun folgt die andere Gerade durch B und C <math> \vec b + \vec BC = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Als Lösungen erhält man für x = 7 und für y = 4 <math>\Rightarrow \vec{p2} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
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<math> \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math> aus dem Grund, da bei allen Punkten in der x<sub>1,2</sub> Ebene, die z - Koordinate Null ist. x und y sind frei wählbar. Somit liegen alle Punkte, deren z = 0 ist, immer in der x<sub>1,2</sub> Ebene.
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d) In welchem Verhältnis wird die Fläche des Parallelogramms durch die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene geteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
  
 
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;Aufgabe 2
 
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a) S ist der Punkt in E, der vom Diagonalenschnittpunkt M den geringsten Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie die Pyramide ABCDS in Ihre Zeichnung ein.
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[Zur Kontrolle: S(3|4|3,5)]
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b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.
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;Aufgabe 3
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S' sei der Spiegelpunkt von S bezüglich der Ebene, in der das Parallelogramm ABCD liegt.
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a) Berechnen Sie die Koordinaten von S' und tragen Sie S' in die Zeichnung ein.
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In S' sein eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Die Parallelogrammfläche sei lichtundurchlässig. Die Lichtquelle erzeugt von diesem Parallelogramm in der Ebene E das Schattenbild A'B'C'D'.
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b) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes A' von A.
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Tragen Sie ohne weitere Rechnung das Bildviereck A'B'C'D' in die Zeichnung ein
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Aktuelle Version vom 16. April 2010, 14:53 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004
Analytische Geometrie V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken
Lösungen von Ludwig Deufert, Emanuel Eirich und Simon Markfelder



In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Punkte A(-2|5|-2), B(1|2|-2), C(10|5|1) sowie die Ebene

E: x1 + x2 - 4 x3 + 7 = 0 gegeben.



Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist, und berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M. Legen Sie ein Koordinatensystem an (Querformat, Ursprung in Seitenmitte) und tragen Sie das Parallelogramm ABCD sowie den Punkt M ein.

[Zur Kontrolle: M(4|5|-0,5)]

ABI 2004 V 1a Lös.jpg


b) Zeigen Sie, dass das Parallelogramm ABCD in einer Parallelebene zur Ebene E liegt, die nicht mit E identisch ist.

ABI 2004 V 1b Lös.jpg


c) Die Parallelogrammfläche schneidet die x1x2-Ebene in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte der Punkte G und H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein.

[Zur Kontrolle: (4|7|0) und (7|4|0)]

ABI 2004 V 1c Lös.jpgABI 2004 V 1c2 Lös.jpg

d) In welchem Verhältnis wird die Fläche des Parallelogramms durch die x1x2-Ebene geteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.

ABI 2004 V 1d Lös.jpg



Aufgabe 2

a) S ist der Punkt in E, der vom Diagonalenschnittpunkt M den geringsten Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie die Pyramide ABCDS in Ihre Zeichnung ein.

[Zur Kontrolle: S(3|4|3,5)]

ABI 2004 V 2a Lös.jpg


b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

ABI 2004 V 2b Lös.jpg



Aufgabe 3

S' sei der Spiegelpunkt von S bezüglich der Ebene, in der das Parallelogramm ABCD liegt.

a) Berechnen Sie die Koordinaten von S' und tragen Sie S' in die Zeichnung ein.

ABI 2004 V 3a Lös.jpg


In S' sein eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Die Parallelogrammfläche sei lichtundurchlässig. Die Lichtquelle erzeugt von diesem Parallelogramm in der Ebene E das Schattenbild A'B'C'D'.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes A' von A.

Tragen Sie ohne weitere Rechnung das Bildviereck A'B'C'D' in die Zeichnung ein

ABI 2004 V 3b Lös.jpg



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