2004 I: Unterschied zwischen den Versionen

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Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x=0 eine bestimmte Menge eines Medikamentes verabreicht.
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Der Graph vob F<sub>a </sub> wird mit G<sub>a</sub> bezeichnet.
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Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G<sub>a</sub> ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung).
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Erläutern Sie, warum es Funktionen F<sub>a</sub> mit a<0 gibt, die genau eine Nullstelle haben.
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Aktuelle Version vom 15. April 2010, 16:11 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004
Infinitestimalrechnung I

Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern

gesamte Lösung

Ruth, Vroni, Julian



Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit f_k:x\rightarrow 10(e^{-0,5x}-e^{-x}). Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert.


Grafik 2004 abi.jpg

Aufgabe 1.

Untersuchen Sie durch Rechnung a) das Verhalten von f\, für x \rightarrow +\infty und x \rightarrow -\infty

3BE

Abi 2004 1 a.jpg

b) in welchen Intervallen die Funktionswerte von f positiv bzw. negativ sind,

4BE

Abi 2004 1 b.jpg

c) Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. [Zur Kontrolle: H(2ln2/2.5)]

6BE

Abi 2004 1 c.jpg

Abi 2004 1 c 2.jpg

Aufgabe 2

Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x=0 eine bestimmte Menge eines Medikamentes verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden.
Berechnen sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75% ihres Höchstwerts abgesunken ist.

7BE

Abi 2004 2 a.jpg

Aufgabe 3

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen F a(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt, a ∈ IR. betrachtet. Der Graph vob Fa wird mit Ga bezeichnet.

a)

Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von Ga ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung).

4BE

Abi 2004 3 a.jpg

b)

Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von F0(x) und zeigen Sie, dass gilt: \lim_{x \to \infty} \ F0 (x) = 10

9BE

Abi 2004 3 b.jpg

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G0. Skizzieren Sie G0 unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse.

c)

Erklären Sie, warum jede Funktion Fa mit a>0 genau zwei Nullstellen hat. (explizite Berechnung der Nullstellen nicht verlangt) Erläutern Sie, warum es Funktionen Fa mit a<0 gibt, die genau eine Nullstelle haben.

7BE

Abi 2004 3 c.jpg
Kleine Verbesserung:
Bei a>0 muss die 3. Zeile statt 1<(e^{-a/2}-1)^2<0 wie folgt heißen, da ja 1 nicht kleiner als 0 sein kann:
1>(e^{-a/2}-1)^2>0 .

Die 4. Zeile stimmt dann wieder, da durch die Multiplikation mit (-10) ein Zeichenwechsel erfolgen muss.
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