2005 II: Unterschied zwischen den Versionen
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Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig</center> | Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig</center> | ||
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Gegeben ist die Funktion <math>f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x} </math> mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet. | Gegeben ist die Funktion <math>f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x} </math> mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet. | ||
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a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.<div align="right">''4 BE''</div> | a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.<div align="right">''4 BE''</div> | ||
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b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.<div align="right">''4 BE''</div> | b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.<div align="right">''4 BE''</div> | ||
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c) Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> an und ermitteln Sie den Funktionsterm <math>f^ {-1}</math>(x).<div align="right">''5 BE''</div> | c) Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> an und ermitteln Sie den Funktionsterm <math>f^ {-1}</math>(x).<div align="right">''5 BE''</div> | ||
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d) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und <math>f^ {-1}</math> in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.<div align="right">''5 BE''</div> | d) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und <math>f^ {-1}</math> in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.<div align="right">''5 BE''</div> | ||
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| − | + | e) Der Graph G<sub>f</sub> die x-Achse und die Gerade x= –1 schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.<div align="right">''4 BE''</div> | |
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| + | <popup name="Tipp"> | ||
| + | mit Hilfe der Umkehrfunktion | ||
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| − | :{{Lösung versteckt|1= | + | [[Bild:ABI_2005_II_1e_Lös veranschaulicht.jpg|550px]]}} |
| − | + | 2. Lösung (zeitaufwändiger und komplizierter) | |
| − | + | :{{Lösung versteckt|1=[[Bild:ABI_2005_II_1e_Lös2.jpg|550px]] | |
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Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen G<sub>g</sub>. Die Abbildung zeigt den Graphen G<sub>u</sub> der in IR\{-2;1} definierten Funktion <math>u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}</math>. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von G<sub>u</sub>. | Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen G<sub>g</sub>. Die Abbildung zeigt den Graphen G<sub>u</sub> der in IR\{-2;1} definierten Funktion <math>u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}</math>. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von G<sub>u</sub>. | ||
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a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub>.<div align="right">''5 BE''</div> | a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub>.<div align="right">''5 BE''</div> | ||
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b) Begründen Sie, dass G<sub>g</sub> in x= – 2 und x=0 waagrechte Tangenten hat.<div align="right">''5 BE''</div> | b) Begründen Sie, dass G<sub>g</sub> in x= – 2 und x=0 waagrechte Tangenten hat.<div align="right">''5 BE''</div> | ||
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c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub> gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)<div align="right">''5 BE''</div> | c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von G<sub>u</sub> und G<sub>g</sub> gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)<div align="right">''5 BE''</div> | ||
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d) Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berück-sichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen G<sub>g</sub>.<div align="right">''3 BE''</div> | d) Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berück-sichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen G<sub>g</sub>.<div align="right">''3 BE''</div> | ||
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Aktuelle Version vom 30. März 2010, 10:57 Uhr
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Gegeben ist die Funktion
4 BE
4 BE
 an und ermitteln Sie den Funktionsterm (x).5 BE
in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.5 BE
4 BE
1. Lösung (einfacher)
 2. Lösung (zeitaufwändiger und komplizierter)
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mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen Gg. Die Abbildung zeigt den Graphen Gu der in IR\{-2;1} definierten Funktion 
5 BE
5 BE
5 BE
3 BE
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. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von Gu.
