2008 VI: Unterschied zwischen den Versionen
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< LK Mathematik | Abitur
(Überschriften der 2 Lösungen der Aufgabe 2a) |
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− | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=6765c5a90ce67dce2877992c3f4e2d9f '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern'''] - [[Media:LKM Abi 2008 VI lös.doc|Lösungen zum Ausdrucken]]</center> | + | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=6765c5a90ce67dce2877992c3f4e2d9f '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern'''] - [[Media:LKM Abi 2008 VI lös.doc|Lösungen zum Ausdrucken]] |
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+ | Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig</center> | ||
</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> | ||
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[[Bild:ABI_2008_VI_Grafik_A1.jpg|center]] | [[Bild:ABI_2008_VI_Grafik_A1.jpg|center]] | ||
− | a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt. | + | a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.<br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] <div align="right">''5 BE''</div> |
− | <br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] | + | |
− | :{{Lösung versteckt| | + | :{{Lösung versteckt|1= |
− | 1.Lösung | + | 1.Lösung |
[[Bild:ABI_2008_VI_1a_2Lös.jpg|500px]] | [[Bild:ABI_2008_VI_1a_2Lös.jpg|500px]] | ||
− | 2.Lösung | + | 2.Lösung |
[[Bild:ABI_2008_VI_1a_Lös.jpg|500px]] | [[Bild:ABI_2008_VI_1a_Lös.jpg|500px]] | ||
+ | |||
+ | <popup name="Bemerkung"> | ||
+ | Zu beweisen ist, dass P '''auf''' nicht innerhalb von k liegt. <br>Deswegen muss als Bedingung: <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert = r </math> und nicht <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert \le r </math> gelten. | ||
+ | </popup><br /> | ||
}} | }} | ||
− | b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie | + | b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)<br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] <div align="right">''7 BE''</div> |
− | die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt | + | |
− | mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.) | + | |
− | <br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] | + | |
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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− | c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. | + | c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. <div align="right">''6 BE''</div> |
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
− | a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k. | + | a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.<br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] <div align="right">''4 BE''</div> |
− | <br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] | + | |
<popup name="Tipp"> | <popup name="Tipp"> | ||
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2. Lösung | 2. Lösung | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2008_VI_2a_Lös2.jpg|500px]] |
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− | b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden | + | b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. <div align="right">''3 BE''</div> |
− | g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. | + | |
− | + | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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+ | 1. Lösung | ||
− | + | [[Bild:ABI_2008_VI_2b_Lös.jpg|550px]] | |
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+ | Beweis: | ||
+ | <math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math> | ||
+ | <br><br> | ||
+ | <math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180} {;} \qquad \vert \overrightarrow {RM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180}</math> | ||
+ | <br><br> | ||
+ | <math>\Rightarrow \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math> q.e.d. | ||
+ | <br><br> | ||
+ | 2. Lösung | ||
+ | |||
+ | [[Bild:ABI_2008_VI_2b_Lös2.jpg|550px]] | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus? <div align="right">''7 BE''</div> | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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;Aufgabe 3 | ;Aufgabe 3 | ||
− | Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden | + | Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt. <div align="right">''8 BE''</div> |
− | Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich | + | |
− | der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen | + | |
− | Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E | + | |
− | berührt. | + | |
<popup name="Tipp"> | <popup name="Tipp"> | ||
− | ''Strahlensatz'' | + | ''Strahlensatz<br />oder HNF'' |
</popup> | </popup> | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild:ABI_2008_VI_3_Lös.jpg| | + | |
+ | 1. Lösung: Strahlensatz | ||
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+ | [[Bild:ABI_2008_VI_3_Lös.jpg|550px]] | ||
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+ | 2. Lösung: HNF | ||
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+ | [[Bild:ABI_2008_VI_3_Lös2.jpg|550px]] | ||
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Aktuelle Version vom 26. März 2010, 15:22 Uhr
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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : [Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] 5 BE
[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] 7 BE
![]() ![]() 6 BE
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[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] 4 BE
3 BE
7 BE
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8 BE
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