Extremwerte: Unterschied zwischen den Versionen
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− | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n | + | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x</math><sup>n-1</sup>''' <ref>[http://www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Potenzregel zur Ableitung]</ref> |
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Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen''' (rot eingezeichnet). | Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen''' (rot eingezeichnet). | ||
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::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math> | ::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math> | ||
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::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum | ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum | ||
− | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} | + | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}a - 2a = - a</math> |
::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung | ::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung | ||
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:Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als | ||
− | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) | + | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot \left( x - t_2 \right)</math>, |
:geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird. | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird. | ||
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::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::<math>\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) | + | ::<math>\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) \cdot \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math> |
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Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 16:53 Uhr
Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina
Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.[1] Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.
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Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen (rot eingezeichnet). |
Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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- Lösung 3: Vorzeichentabelle
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Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass
Minimum und
Maximum ist. E2 ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für
die Funktionswerte gegen
gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E2. Das Minimum E1 kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.
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