Lösung von Teilaufgabe b: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 30. Januar 2010, 10:19 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_{f_a} unterhalb der x-Achse und ist somit negativ. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_{f_a} oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei $x = a\,$ ist der Graph G_{f_a} gleich Null ( G_{f_a} = 0 )und das Steigungsverhalten von G_{F_a} ändert für $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G_{F_a} an der Stelle $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend nach streng monoton steigend ändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x.$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$

Definiere:

$u ( x ) = x - a$
$u ^{'} ( x ) = 1$

$v ( x ) = e^{a + 2 - x}$
$v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}$

$=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}$

$\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c$

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0$

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}$

$= [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis$

$= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$= \, [e^{2}] \approx 7.39$

Der Flächeninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, beträgt e².

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 === 1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> ===
-.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
+.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negativ. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
-Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />
+Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />
-.) Bei <math>x = a\,</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändert für <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
+.) Bei <math>x = a\,</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steigungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändert für <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stelle <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend nach streng monoton steigend ändert.
 === 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===
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 für Interessierte: [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe b/Lösung von Teilaufgabe b/Der Holzweg|Der Holzweg]]
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 === 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten ===
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 :::              <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br />
-:::              <math> = \, [e^{2}]</math><br />
+:::              <math> = \, [e^{2}] \approx  7.39</math><br />
-'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt <span style="color: red">''e<sup>2</sup>''</span>'''.
+'''Der Flächeninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, beträgt <span style="color: red">''e<sup>2</sup>''</span>'''.
-=== 4. '''Der Graph von F<sub>a</sub> ( x )''' ===
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