Lösung von Teilaufgabe c) 2.: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Verwendung der Tangentengleichung)
 
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=== Verwendung der Tangentialgleichung ===
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=== Verwendung der Tangentengleichung ===
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Hier rate ich wieder zur Verwendung der Tangentengleichung.<br />
  
 
: <math>y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )</math><br />
 
: <math>y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )</math><br />
  
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Zwar fehlen hier einige feste Werte, die man in die Gleichung einsetzen kann, doch diese hat man in allgemeiner Form durch die Funktion und die erste Ableitung gegeben.<br />
 
:<math> y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})</math><br />
 
:<math> y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})</math><br />
  
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:: <math>\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0</math>
 
:: <math>\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0</math>
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Nun hat man als Lösung eine Quadratische Gleichung erhalten. <br />Diese löst man am besten mit Hilfe der Mitternachtsformel.<br />
 
Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel?title=Mitternachtsformel&redirect=no Mitternachtsformel] <math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}</math>
 
Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel?title=Mitternachtsformel&redirect=no Mitternachtsformel] <math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}</math>
 
   
 
   
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}</math><br />
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: <math> x_{1,2} = {1\pm\sqrt{3}}</math><br />
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:: <math>  = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}= \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}</math><br />
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:: <math>  = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}= {1\pm\sqrt{3}}</math><br />
  
 
: <math>\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}</math><br />
 
: <math>\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}</math><br />
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: <math>\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}</math><br />
 
: <math>\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}</math><br />
  
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Die beiden nun erhaltenen x-Werte müssen nun nur noch in die Funktion eingesetzt werden.<br />
  
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:      <math>f_a(x_1)=\;</math><br />  
 
:      <math>f_a(x_1)=\;</math><br />  
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: <math>= f_a(1 + \sqrt{3})\;</math>  
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::: <math>= f_a(1 + \sqrt{3})\;</math>  
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: <math>= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
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::: <math>= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
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:                      <math> = ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
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:                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}</math><br />
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:                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}</math><br />
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:                      <math>\approx 2{,}601</math><br />
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:::                      <math>\approx 2{,}601</math><br />
  
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::::                  <math> \Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)</math> 
  
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:                      <math> \Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)</math>
 
  
  
  
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:      <math>f_a(x_2) =\;</math><br />
 
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:      <math>= f_a(1 - \sqrt{3})\;</math>
 
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:                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
 
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:                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
 
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:                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}</math><br />
 
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:                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}</math><br />
 
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:                      <math>\approx -310{,}164</math><br />
 
  
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:                      <math> \Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)</math>
 
  
  
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:      <math>f_a(x_2) =\;</math><br />
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:::      <math>= f_a(1 - \sqrt{3})\;</math>
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:::                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}</math><br />
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:::                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}</math><br />
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:::                  <math>\approx -310{,}164</math><br />
  
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::::                      <math> \Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)</math>
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Nachdem beide Berührpunkte nun einzeln gezeigt worden sind, hier eine Grafik in der Beide gleichzeitig zu sehen sind.
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[[Bild:TANGENTE_b1b2.png|400px]]

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 20:12 Uhr

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f2 durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentengleichung

Hier rate ich wieder zur Verwendung der Tangentengleichung.

y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )

Zwar fehlen hier einige feste Werte, die man in die Gleichung einsetzen kann, doch diese hat man in allgemeiner Form durch die Funktion und die erste Ableitung gegeben.

y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})


mit:\;

y = 0\;
x = 0\;
a = 2\;


0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )
0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )
0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )
0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 + x_0 - 2 )
0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )\;\;\;\;\;\;\;\;|e^{4 - x_0}>0
\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0

Nun hat man als Lösung eine Quadratische Gleichung erhalten.
Diese löst man am besten mit Hilfe der Mitternachtsformel.
Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}

x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}
= \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}= \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}
= \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}= {1\pm\sqrt{3}}
\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}
\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}

Die beiden nun erhaltenen x-Werte müssen nun nur noch in die Funktion eingesetzt werden.

Tangente b1111.png
f_a(x_1)=\;
= f_a(1 + \sqrt{3})\;
= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}
= ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}
= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}
= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}
\approx 2{,}601
\Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)




Tangente b2222.png
f_a(x_2) =\;
= f_a(1 - \sqrt{3})\;
= ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}
= ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}
= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}
= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}
\approx -310{,}164
\Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)


Nachdem beide Berührpunkte nun einzeln gezeigt worden sind, hier eine Grafik in der Beide gleichzeitig zu sehen sind. TANGENTE b1b2.png

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