Extremwerte: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 15:53 Uhr

Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina

Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.^[1]

Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.

Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x$ ^n-1 ^[2]

Tipp:

Zum Nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst und was eine Ableitung ist, findest du hier nochmal einen nützlichen Lernpfad.

Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f.

Ableitung f '(t) anzeigen

$f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$

Zur Bestimmung der Koordinaten der möglichen Extremwerte:

Man setzt f '(t) = 0,
erhält eine quadratische Gleichung,
löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ^[3],
und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E₁ und E₂.

Errechne nun die Koordinaten an denen es eine waagrechte Tangente gibt.

$t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$

$t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Jeder Graph G_a besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f₃ sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen (rot eingezeichnet).

Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten

Man bestimmt die zweite Ableitung,
setzt die errechneten t - Werte ein
und überprüft, ob f ' ' (t)

< 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung bzw Rechtskurve

$\Rightarrow$ relatives Maximum

> 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung bzw Linkskurve

$\Rightarrow$ relatives Minimum

Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Punkt um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. Bei solche einem Punkt handelt es sich um keinen Extremwert. ^[4]

Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.

$f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$

$f ''(2a) = \frac{3}{2} \cdot 2a - 2a = a$

da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum

$f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}a - 2a = - a$

da a größer als Null definiert ist, gilt $\rightarrow$ - (a) < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung

$\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 2: h - Methode

Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" der waagrechten Tangente verhält.

Dazu nimmt man die erste Ableitung,

setzt $\lim_{h\to0} f '(t_0 - h)$
und $\lim_{h\to0} f '( t_0 + h)$ ein.

Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von G_f "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom möglichen Extremwert.

Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.

$\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$

$\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$

Graphische Vorstellung:

$\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum,

da links von t = 2a der Graph fällt.
da rechts von t = 2a der Graph steigt.

$\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

da links von $t = \frac{2}{3}a$ der Graph steigt.
da rechts von $t =\frac{2}{3}a$ der Graph fällt.

Lösung 3: Vorzeichentabelle

Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als

$f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot \left( x - t_2 \right)$ ,

geschrieben werden. Hier sind die Werte t₁ und t₂ die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird.

Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch Multiplikation der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.

Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.

$\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) \cdot \left( x - \frac{2}{3}a \right)$

Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen G_f

$\Rightarrow$ Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass $E_1 \left( 2a / 0 \right)$ Minimum und $E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ Maximum ist. E₂ ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für $t \rightarrow +\infty$ die Funktionswerte gegen $+ \infty$ gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E₂. Das Minimum E₁ kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.

Hier geht's zur Aufgabe: Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Hier geht's zurück zur Übersicht

Internetquellen

[1] Definition eines Extremwertes

[2] Potenzregel zur Ableitung

[3] Lösungsformel für quadratische Gleichungen

[4] Zur Bestimmung der Extremwerte

[1]

[2]

[3]

[4]

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-===Aufgabe: Extremwerte===
+===Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina===
-'''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span>
+'''''<span style="color: darkorange">Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span>
 {|
 |width=400px|
-''Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. An den Extrempunkten besitzt die Funktion eine waagrechte Tangente, dass heißt, die Steigung ist Null.
+''In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.''<ref>[http://woerterbuch.babylon.com/Extremwert Definition eines Extremwertes]</ref>
+''Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.''
 :Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.''
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 {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em"
 | valign="top" |
-:Die allgemeine Ableitungsregel ist:    '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>'''
+:Die allgemeine Ableitungsregel ist:    '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot  x</math><sup>n-1</sup>''' <ref>[http://www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Potenzregel zur Ableitung]</ref>
 |}
 :<u>Tipp:</u>
-:Zum nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst, findest du [http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/index.htm hier] nochmal einen nützlichen Lernpfad.
+:Zum Nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst und was eine Ableitung ist, findest du [http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/index.htm hier] nochmal einen nützlichen Lernpfad.
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 :* Man setzt f '(t) = 0,
 :* erhält eine quadratische Gleichung,
-:* löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen,
+:* löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen <ref>[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln Lösungsformel für quadratische Gleichungen]</ref>,
 :* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>.
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 }}
-|width=5px|
+|width=15px|
 |valign="top" |
-:Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte liegen'''.
+Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen''' (rot eingezeichnet).
-:<ggb_applet width="319" height="411"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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 |}
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-''Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welche Art dieses Extrema ist, Maximum oder Minimum, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.''
+''Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.''
 {|
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 ::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum
-::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Extremwert um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente.
+::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Punkt um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. Bei solche einem Punkt handelt es sich um '''keinen Extremwert'''. <ref>[http://www.learnable.net/freeload/mathe/M215.pdf Zur Bestimmung der Extremwerte]</ref>
-::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte.</span>
+::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.</span>
 ::{{Lösung versteckt|1=
 ::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math>
-::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a</math>
+::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} \cdot  2a - 2a = a</math>
 ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung  <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
-::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a</math>
+::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot  \frac{2}{3}a - 2a = - a</math>
 ::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0  <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung
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 ::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math>
-::Graphische Vorzustellung:
+::Graphische Vorstellung:
 ::<math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum,
 ::* da links von t = 2a der Graph fällt.
 ::* da rechts von t = 2a der Graph steigt.
 ::<math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
-::* da links von t = <math>\frac{2}{3}a</math> der Graph steigt.
+::* da links von <math>t = \frac{2}{3}a</math> der Graph steigt.
-::* da rechts von t = <math>\frac{2}{3}a</math> der Graph fällt.
+::* da rechts von <math>t =\frac{2}{3}a</math> der Graph fällt.
 }}
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 :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als
-::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)</math>,
+::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot  \left( x - t_2 \right)</math>,
-:geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welcher die erste Ableitung Null wird.
+:geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird.
-:Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
+:Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch Multiplikation der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
 ::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span>
 ::{{Lösung versteckt|1=
-::<math>\Rightarrow f '(t) = \left(  x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math>
+::<math>\Rightarrow f '(t) = \left(  x - 2a \right) \cdot  \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math>
 ::
-[[Bild:Vorzeichentabelle1.jpg|400px]]
+[[Bild:Vorzeichentabelle neu.jpg|400px]]
 ::<u><span style="color: red">'''Merke:'''</span></u> Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.
 }}
@@ Zeile 139: / Zeile 142: @@
 |}
-[[Facharbeit Neutert/Wendepunkt|Aufgabe: Wendepunkt]]
+<math>\Rightarrow</math> Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass <math>E_1 \left( 2a / 0 \right)</math> Minimum und <math>E_2 \left( \frac{2}{3}a  / \frac{8}{27}a^3  \right)</math> Maximum ist. E<sub>2</sub> ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für <math>t \rightarrow  +\infty</math> die Funktionswerte gegen <math>+ \infty</math> gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E<sub>2</sub>. Das Minimum E<sub>1</sub> kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.
+[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Wendepunkt|Hier geht's zur Aufgabe: Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit]]
+[[LK Mathematik Abitur NRW 2007|Hier geht's zurück zur Übersicht]]
+==Internetquellen==
+<references/>

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