Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen
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= <span style="color: blue">Grenzwerte im Unendlichen</span> = | = <span style="color: blue">Grenzwerte im Unendlichen</span> = | ||
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− | + | <ggb_applet width="906" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | |
− | Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert | + | Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert y=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen oder zu unterschreiten. <br /> |
Diese Tendenz kann man nun durch eine Formelumformung bestätigen: <br /> | Diese Tendenz kann man nun durch eine Formelumformung bestätigen: <br /> | ||
f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br /> | f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br /> | ||
+ | [[Bild:Grenzwerte Annäherung neu.png|300px|right]] | ||
Da <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem ''' <span style="color: blue">Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.</span>''' <br /> | Da <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem ''' <span style="color: blue">Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.</span>''' <br /> | ||
Kurz: <br /> | Kurz: <br /> | ||
− | ::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |
+ | Im oberen Applet kannst du noch zwei weitere Graphen von Funktionen betrachten, indem du links die Funktionsterme auswählst. Die Funktion g(x) mit <br /> | ||
+ | x→<math>{3x+2 \over 2x+1}</math> nähert sich dem Wert 1,5 und für die Funktion h(x) mit x→2<sup>x</sup> gilt: <br /> | ||
+ | ::<math>\lim_{x\to\infty}</math> 2<sup>x</sup>=<math>\infty</math> d.h. der Graph geht für immer größer werdende x-Werte immer weiter gegen unendlich <br /> | ||
+ | ::<math>\lim_{x\to-\infty}</math> 2<sup>x</sup>=0 d.h. für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich der Graph dem Wert 0 | ||
</popup> | </popup> | ||
<br /> <br /> | <br /> <br /> | ||
Funktionen, die für x gegen <math>+\infty</math> oder <math> -\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man ''' <span style="color: blue">konvergent</span>'''. <br /> <br /> | Funktionen, die für x gegen <math>+\infty</math> oder <math> -\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man ''' <span style="color: blue">konvergent</span>'''. <br /> <br /> | ||
+ | |||
''' <span style="color: blue">Hinweis:</span>''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br /> | ''' <span style="color: blue">Hinweis:</span>''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br /> | ||
− | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Sonderfall:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Sonderfall:</span>''' |
+ | [[Bild:Konvergenz Ergänzung.png|300px|right]] | ||
+ | <br /> | ||
Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br /> | Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br /> | ||
In diesem Fall gilt: <br /> | In diesem Fall gilt: <br /> | ||
− | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> </div> <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> </div> <br /> |
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+ | <br /> <br /> | ||
== <span style="color: blue">Divergente Funktionen</span> == | == <span style="color: blue">Divergente Funktionen</span> == | ||
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− | <br /> <br /> Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. | + | <br /> <br /> Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. für immer kleiner werdende x-Werte gegen -<math>\infty</math> geht. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert. <br /> |
'''Es gilt:''' <br /> | '''Es gilt:''' <br /> | ||
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− | [[Bild:Divergente Funktion 2.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> [[Bild:Divergente Funktion 4. 2.png|300px]] </div> |
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− | <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt. | + | <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |
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− | [[Bild:Divergente Funktion 1.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">[[Bild:Divergente Funktion 4. 1.png|300px]]</div> |
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− | <br /> <br /> <br /> <br /> Die Funktion f(x)= | + | <br /> <br /> <br /> <br /> Die Funktion f(x)=x<math>\cdot</math>cosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> bzw. <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math> '''nicht''' erlaubt. |
− | + | <br /> <br /> <br /> <br /> | |
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− | [[Bild:Divergente Funktion 3.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">[[Bild:Divergente Funktion 4. 3.png|300px]]</div> |
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> | ||
Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl <span style="color: red">a</span> , so ist diese Zahl <span style="color: red">a</span> '''der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich'''. <br /> | Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl <span style="color: red">a</span> , so ist diese Zahl <span style="color: red">a</span> '''der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich'''. <br /> | ||
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Funktionen, die für x→<math>\infty</math> oder x→ <math>-\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man '''konvergent'''. <br /> | Funktionen, die für x→<math>\infty</math> oder x→ <math>-\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man '''konvergent'''. <br /> | ||
Funktionen, die für x→<math>\infty</math> und x→<math> -\infty</math> keinen Grenzwert besitzen, nennt man '''divergent'''. </div> <br /> <br /> | Funktionen, die für x→<math>\infty</math> und x→<math> -\infty</math> keinen Grenzwert besitzen, nennt man '''divergent'''. </div> <br /> <br /> | ||
+ | |} | ||
== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | == <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | ||
− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> |
Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte. <br /> | Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte. <br /> | ||
:a) f(x)=x<sup>2</sup> <br /> | :a) f(x)=x<sup>2</sup> <br /> | ||
Zeile 122: | Zeile 140: | ||
a) <br /> | a) <br /> | ||
f(x)=x<sup>2</sup> | f(x)=x<sup>2</sup> | ||
− | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty</math> da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte | + | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty</math> da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte gegen + bzw. - unendlich gehen <br /> |
b) <br /> | b) <br /> | ||
f(x)=2<sup>x</sup> | f(x)=2<sup>x</sup> | ||
::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> d.h. für immer größer werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer <br /> | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> d.h. für immer größer werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer <br /> | ||
− | ::<math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> d.h im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> d.h. im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 <br /> |
c) <br /> | c) <br /> | ||
f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math>=<math>{x(5+\frac 2x) \over x(3-\frac 2x)}</math>=<math>{5+\frac 2x \over 3-\frac 2x}</math> | f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math>=<math>{x(5+\frac 2x) \over x(3-\frac 2x)}</math>=<math>{5+\frac 2x \over 3-\frac 2x}</math> | ||
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f(x)=<math>5-{1 \over x}</math> | f(x)=<math>5-{1 \over x}</math> | ||
::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= 5</math> da <math>\frac 1x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= 5</math> da <math>\frac 1x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht | ||
− | </popup> <br /> <br /> | + | </popup> </div> <br /> <br /> |
− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> |
− | Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→ | + | Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→<math>\infty</math>)? |
<br /> <br /> | <br /> <br /> | ||
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> | f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> | ||
− | ::<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=</math><math>\lim_{x\to \infty}{x(4+1 | + | ::<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=</math><math>\lim_{x\to \infty}{x(4+ \frac {1} {x}) \over x(2- \frac {3} {x})}=\lim_{x\to \infty}{4+ \frac {1} {x} \over 2- \frac {3} {x}}={4 \over 2}=2</math> <br /> |
Der Grenzwert der Funktion liegt also bei y=2, da sich der Graph von oben diesem Wert nähert, bedeutet das für den Funktionswert bei einer Abweichung von 0,1 <br /> <br /> | Der Grenzwert der Funktion liegt also bei y=2, da sich der Graph von oben diesem Wert nähert, bedeutet das für den Funktionswert bei einer Abweichung von 0,1 <br /> <br /> | ||
f(x)=2,1 (Grenzwert + Abweichung) <br /> <br /> | f(x)=2,1 (Grenzwert + Abweichung) <br /> <br /> | ||
Zeile 146: | Zeile 164: | ||
:→x=36,5 <br /> | :→x=36,5 <br /> | ||
::→ für x>36,5 ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als 0,1 <br /> | ::→ für x>36,5 ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als 0,1 <br /> | ||
− | </popup> <br /> <br /> | + | </popup> </div> <br /> <br /> |
− | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> |
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> | Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
Zeile 178: | Zeile 196: | ||
+ existiert nicht | + existiert nicht | ||
− | </quiz> | + | </quiz> </div> |
− | + | |} | |
Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 20:17 Uhr
Grenzwerte im Unendlichen
Konvergente Funktionen
Divergente FunktionenBei divergenten Funktionen, also Funktionen die für x→ keinen Grenzwert besitzen, unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.
Beispielaufgaben Aufgabe 1: Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte.
Aufgabe 2: Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)= die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→)?
Aufgabe 3:
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. |