Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms.
 
Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms.
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Erstelle für die Funktion f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math> eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.
 
Erstelle für die Funktion f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math> eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.
  
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<ggb_applet width="906" height="503"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br />
  
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Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert x=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen. <br />
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Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert y=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen oder zu unterschreiten. <br />
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Diese Tendenz kann man nun durch Formelumformung bestätigen: <br />
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Diese Tendenz kann man nun durch eine Formelumformung bestätigen: <br />
  
 
f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br />
 
f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br />
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Da  <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem '''Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.''' <br />
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[[Bild:Grenzwerte Annäherung neu.png|300px|right]]
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Da  <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem ''' <span style="color: blue">Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.</span>''' <br />
 
Kurz: <br />  
 
Kurz: <br />  
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::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br />
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::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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Im oberen Applet kannst du noch zwei weitere Graphen von Funktionen betrachten, indem du links die Funktionsterme auswählst. Die Funktion g(x) mit  <br />
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x→<math>{3x+2 \over 2x+1}</math> nähert sich dem Wert 1,5 und für die Funktion h(x) mit x→2<sup>x</sup> gilt: <br />
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::<math>\lim_{x\to\infty}</math> 2<sup>x</sup>=<math>\infty</math>  &nbsp;&nbsp; d.h. der Graph geht für immer größer werdende x-Werte immer weiter gegen unendlich <br />
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::<math>\lim_{x\to-\infty}</math> 2<sup>x</sup>=0 &nbsp;&nbsp; d.h. für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich der Graph dem Wert 0
 
</popup>
 
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<br /> <br />
 
<br /> <br />
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Funktionen, die für x gegen +∞ oder-∞ einen Grenzwert besitzen, nennt man '''konvergent'''. <br /> <br />
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Funktionen, die für x gegen <math>+\infty</math> oder <math> -\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man ''' <span style="color: blue">konvergent</span>'''. <br /> <br />
  
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'''Hinweis:''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das beispielsweise für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br />
 
  
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'''Sonderfall:''' <br />  
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''' <span style="color: blue">Hinweis:</span>''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Sonderfall:</span>'''  
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Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br />
 
Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br />
 
In diesem Fall gilt: <br />
 
In diesem Fall gilt: <br />
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::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> <br />
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::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> </div> <br />
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== <span style="color: blue">Divergente Funktionen</span> ==
  
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== Divergente Funktionen ==
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Bei divergenten Funktionen, also '''Funktionen die für x→<math>\pm\infty</math> keinen Grenzwert besitzen''', unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.
  
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Bei divergenten Funktionen, also '''Funktionen die für x→±∞ keinen Grenzwert besitzen''', unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.
 
  
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Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte  für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. fällt. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert. <br />  
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<br /> <br /> Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte  für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. für immer kleiner werdende x-Werte gegen -<math>\infty</math> geht. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert. <br />
 
'''Es gilt:''' <br />
 
'''Es gilt:''' <br />
  
 
::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> bzw. <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
 
::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> bzw. <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
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Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl <span style="color: red">a</span> , so ist diese Zahl <span style="color: red">a</span> '''der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich'''. <br />
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Schreibweise: <br />
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::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=</math><span style="color: red">a</span>
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Dabei ist die Gerade y=a die waagrechte Asymptote des Graphen von f. <br />
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Das Gleiche gilt für x→ <math>-\infty</math>. <br />
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Funktionen, die für x→<math>\infty</math> oder x→ <math>-\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man '''konvergent'''. <br />
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Funktionen, die für x→<math>\infty</math> und x→<math> -\infty</math> keinen Grenzwert besitzen, nennt man '''divergent'''. </div> <br /> <br />
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== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br />
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Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte. <br />
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:a) f(x)=x<sup>2</sup> <br />
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:b) f(x)=2<sup>x</sup> <br />
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:c) f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math> <br />
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:d) f(x)=<math>{5-1 \over x}</math>
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<br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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a) <br />
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f(x)=x<sup>2</sup>
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::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty</math>  &nbsp; &nbsp;  da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte gegen + bzw. - unendlich gehen <br />
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b) <br />
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f(x)=2<sup>x</sup>
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::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>  &nbsp; &nbsp; d.h. für immer größer werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer <br />
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::<math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math>  &nbsp; &nbsp; d.h. im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 <br />
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c) <br />
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f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math>=<math>{x(5+\frac 2x) \over x(3-\frac 2x)}</math>=<math>{5+\frac 2x \over 3-\frac 2x}</math>
 +
::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= {5 \over 3}</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; da <math>\frac 2x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht <br />
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d) <br />
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f(x)=<math>5-{1 \over x}</math>
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::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= 5</math> &nbsp; &nbsp; da <math>\frac 1x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht
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</popup> </div> <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br />
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Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→<math>\infty</math>)?
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<br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math>
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::<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=</math><math>\lim_{x\to \infty}{x(4+ \frac {1} {x}) \over x(2- \frac {3} {x})}=\lim_{x\to \infty}{4+ \frac {1} {x} \over 2- \frac {3} {x}}={4 \over 2}=2</math>  <br />
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Der Grenzwert der Funktion liegt also bei y=2, da sich der Graph von oben diesem Wert nähert, bedeutet das für den Funktionswert bei einer Abweichung von 0,1 <br /> <br />
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f(x)=2,1  &nbsp; &nbsp; (Grenzwert + Abweichung) <br /> <br />
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<math>{4x+1 \over 2x-3}=2,1</math>      nach x auflösen<br />
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:→x=36,5 <br />
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::→ für x>36,5 ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als 0,1 <br />
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</popup> </div> <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
 +
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br />
 +
<quiz display="simple">
 +
{Für f(x)=x<sup>4</sup>+2 gilt:}
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- <math>\lim_{x\to \infty}f(x)=2</math>
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+ <math>\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty</math>
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- <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=-2</math>
 +
- <math>\lim_{x\to \infty}f(x)=0</math>
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- <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty</math>
 +
+ <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty</math>
 +
 
 +
{Der Grenzwert von f(x)=<math>{3x+4 \over x-2}</math> für x → <math>\infty</math> ist}
 +
- 2
 +
- 4
 +
+ 3
 +
- existiert nicht
 +
 
 +
{Wen eine Funktion für x→<math>\infty</math> den Grenzwert 0 hat und für x→-<math>\infty</math> gegen -<math>\infty</math> geht, dann ist sie}
 +
+ konvergent
 +
- divergent
 +
- nichts von beidem
 +
 
 +
{ <math>\lim_{x\to \infty}2(sinx)+3=}
 +
- 6
 +
- 3
 +
- 2
 +
- 0
 +
- <math>\infty</math>
 +
+ existiert nicht
 +
 
 +
</quiz> </div>
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|}
 +
 
 +
 
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[[Facharbeit Florian Wilk/Funktionsuntersuchungen|Weiter zum Kapitel Funktionsuntersuchungen]]
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[[Bild:Divergente Funktion 3.png|200px|right]]
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[[Facharbeit Florian Wilk|Zurück zur Übersicht]]
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Die Funktion f(x)=x×cosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise  <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> bzw. <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math> nicht erlaubt.
+
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== Beispielaufgaben ==
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 20:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Grenzwerte im Unendlichen

Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms.

Konvergente Funktionen

Aufagbe:
Erstelle für die Funktion f(x)={6x+1 \over 2x} eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.




Funktionen, die für x gegen +\infty oder -\infty einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent.


Hinweis:
Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht.

Sonderfall:
Konvergenz Ergänzung.png


Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)={cosx \over x}, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird.
In diesem Fall gilt:

\lim_{x\to\infty} f(x)=0










Divergente Funktionen

Bei divergenten Funktionen, also Funktionen die für x→\pm\infty keinen Grenzwert besitzen, unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.




Bei der Funktion f(x)=2x3+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. für immer kleiner werdende x-Werte gegen -\infty geht. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert.
Es gilt:

\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty bzw. \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty






Divergente Funktion 4. 2.png








Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt.






Divergente Funktion 4. 1.png






Die Funktion f(x)=x\cdotcosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty bzw. \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty nicht erlaubt.




Divergente Funktion 4. 3.png




Merke:

Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl a , so ist diese Zahl a der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.
Schreibweise:

\lim_{x\to\infty} f(x)=a

Dabei ist die Gerade y=a die waagrechte Asymptote des Graphen von f.
Das Gleiche gilt für x→ -\infty.
Funktionen, die für x→\infty oder x→ -\infty einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent.

Funktionen, die für x→\infty und x→ -\infty keinen Grenzwert besitzen, nennt man divergent.


Beispielaufgaben

Aufgabe 1:

Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte.

a) f(x)=x2
b) f(x)=2x
c) f(x)={5x+2 \over 3x-2}
d) f(x)={5-1 \over x}





Aufgabe 2:

Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)={4x+1 \over 2x-3} die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→\infty)?



Aufgabe 3:

Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1. Für f(x)=x4+2 gilt:

\lim_{x\to \infty}f(x)=2
\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-2
\lim_{x\to \infty}f(x)=0
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty

2. Der Grenzwert von f(x)={3x+4 \over x-2} für x → \infty ist

2
4
3
existiert nicht

3. Wen eine Funktion für x→\infty den Grenzwert 0 hat und für x→-\infty gegen -\infty geht, dann ist sie

konvergent
divergent
nichts von beidem

4. \lim_{x\to \infty}2(sinx)+3=
6
3
2
\infty
existiert nicht

Punkte: 0 / 0


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