Lösung von Teilaufgabe b: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 30. Januar 2010, 11:19 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_{f_a} unterhalb der x-Achse und ist somit negativ. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_{f_a} oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei $x = a\,$ ist der Graph G_{f_a} gleich Null ( G_{f_a} = 0 )und das Steigungsverhalten von G_{F_a} ändert für $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G_{F_a} an der Stelle $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend nach streng monoton steigend ändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x.$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$

Definiere:

$u ( x ) = x - a$
$u ^{'} ( x ) = 1$

$v ( x ) = e^{a + 2 - x}$
$v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}$

$=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}$

$\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c$

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0$

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}$

$= [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis$

$= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$= \, [e^{2}] \approx 7.39$

Der Flächeninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, beträgt e².

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-a
+=== 1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> ===
+.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negativ. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
+Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />
+.) Bei <math>x = a\,</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steigungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändert für <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stelle <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend nach streng monoton steigend ändert.
+=== 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===
+[http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration]
+<math> \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x
+= [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x.</math>
+<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math>
+Definiere:
+<math>u ( x ) = x - a</math><br />
+<math>u ^{'} ( x ) = 1</math>
+<math>v ( x ) = e^{a + 2 - x}</math><br />
+<math>v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}</math>
+<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}</math> <br />
+:::                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx</math>
+:::                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}</math>
+:::                   <math>=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math>
+::::                  <math>\Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math><br />
+für Interessierte: [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe b/Lösung von Teilaufgabe b/Der Holzweg|Der Holzweg]]
+<ggb_applet width="671" height="418"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
+=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten ===
+::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math>
+Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
+<math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br />
+:::              <math> = [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}</math><br />
+:::              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]</math><br />
+:::              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br />
+:::::::::::::::::::                                             <math>  | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br />
+:::              <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]</math><br />
+:::              <math> = \, [e^{2}] \approx  7.39</math><br />
+'''Der Flächeninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, beträgt <span style="color: red">''e<sup>2</sup>''</span>'''.
+[[Bild:Integral.png|500px]]

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