Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | = Verschieben von Funktionsgraphen = | + | {| |
− | == 1.Verschiebung nach oben/unten == | + | ! width="910" | |
+ | |- | ||
+ | | valign="top" | | ||
+ | = <span style="color: blue">Verschieben von Funktionsgraphen</span> = | ||
+ | ==<span style="color: blue">1.Verschiebung nach oben/unten</span> == | ||
− | '''Problemstellung:''' | + | '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br /> |
− | + | {| | |
− | Im nebenstehenden | + | ! width="370" | |
+ | ! width="40" | | ||
+ | |- | ||
+ | | valign="top" | | ||
+ | <br /> Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben | ||
+ | des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. <br /> <br /> | ||
+ | | | ||
+ | | valign="top" | | ||
+ | <ggb_applet width="530" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | ||
+ | |} | ||
+ | '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ||
+ | Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt. <br /> | ||
+ | Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als | ||
+ | der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. | ||
+ | nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben</span>. <br /> | ||
+ | :Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: <span style="color: blue">g(x)=f(x)</span><span style="color: red">+a</span>. <br /> <br /> | ||
+ | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup> <br /> | ||
+ | :::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br /> | ||
+ | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span> → g(x)=f(x)+3 <br /> | ||
+ | ::: g(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br /> | ||
+ | ::: g(1)=<span style="color: green">1</span><span style="color: red">+3</span> <br /> | ||
+ | ::: g(1)=4 </div> <br /> <br /> | ||
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+ | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:'''</span>''' <br /> | ||
+ | Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x)'''<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung.''' <br /> | ||
+ | Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). </div> <br /> <br /> <br /> <br /> | ||
− | + | == <span style="color: blue">2.Verschiebung nach rechts/links</span> == | |
− | = | + | '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br /> |
+ | Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst. <br /> | ||
+ | Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden. <br /> <br /> | ||
+ | <ggb_applet width="733" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | ||
− | |||
− | |||
− | '''Erklärung:''' | + | '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> |
+ | Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben <br /> | ||
+ | nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings <span style="color: blue">um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben</span>. Somit entspricht <br /> | ||
+ | der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.<br /> | ||
+ | Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: <span style="color: blue">g(x)=f</span>(<span style="color: red">x-3</span><span style="color: blue">)</span>. <br /> <br /> | ||
− | '''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> |
− | :::x=1 | + | :::x=1 → f(1)=3 <br /> <br /> |
− | Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: <br /> | + | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br /> |
− | ::: | + | :::g(x)=f(x<span style="color: red">-3</span>) <br /> |
− | ::: | + | :::g(x)=(x-3)<sup>3</sup>+2(x-3)<sup>2</sup> <br /> |
− | ::: | + | :::g(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br /> |
− | ::: | + | :::<span style="color: green">g(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br /> |
− | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von | + | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br /> |
− | ''' | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> |
+ | Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links). </div> | ||
+ | <br /> <br /> | ||
+ | == <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> == | ||
− | == | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist. |
− | + | ||
− | Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist. | + | |
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::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br /> | ::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br /> | ||
::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28''' | ::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28''' | ||
− | </popup> | + | </popup> </div> |
+ | |||
+ | |||
+ | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind. | ||
+ | |||
+ | Ausgangsfunktion: <br /> | ||
+ | [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | a) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | b) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | c) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <popup name="Lösung"> | ||
+ | a) Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach oben</span>: <br /> | ||
+ | :::g(x)=f(x)<span style="color: red">+2</span>='''x<sup>3</sup>+2''' <br /> <br /> | ||
+ | b) Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach links</span>: <br /> | ||
+ | :::h(x)=f(<span style="color: red">x+2</span>) <br /> | ||
+ | :::h(x)=(<span style="color: red">x+2</span>)<sup>3</sup> <br /> | ||
+ | :::h(x)=(x+2)(x<sup>2</sup>+4x+4)<br /> | ||
+ | :::h(x)=x<sup>3</sup>+4x<sup>2</sup>+4x+2x<sup>2</sup>+8x+8 <br /> | ||
+ | :::'''h(x)=x<sup>3</sup>+6x<sup>2</sup>+12x+8''' <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | c) Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span> und <span style="color: green">4 Einheiten nach unten</span>: <br /> | ||
+ | :::j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>)<span style="color: green">-4</span> <br /> | ||
+ | :::j(x)=(<span style="color: red">x-3</span>)<sup>3</sup><span style="color: green">-4</span> <br /> | ||
+ | :::j(x)=(x-3)(x<sup>2</sup>-6x+9)-4 <br /> | ||
+ | :::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br /> | ||
+ | :::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31''' | ||
+ | </popup> </div> <br /> <br /> | ||
+ | |||
+ | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> | ||
+ | Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> <br /> | ||
+ | <quiz display="simple"> | ||
+ | {In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x<sup>4</sup>+3x<sup>2</sup>-2x+4 ist gegenüber dem Graphen g(x)=3x<sup>4</sup>+3x<sup>2</sup>-2x verschoben?} | ||
+ | + nach oben | ||
+ | - nach unten | ||
+ | - nach links | ||
+ | + in positiver y-Richtung | ||
+ | - nach rechts | ||
+ | |||
+ | {Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x<sup>3</sup>+x<sup>2</sup>+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x<sup>3</sup>+x<sup>2</sup>-2 nach oben verschoben?} | ||
+ | - 4 | ||
+ | - gar nicht | ||
+ | + 6 | ||
+ | - 2 | ||
+ | |||
+ | {Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist?} | ||
+ | - g(x)=x<sup>3</sup>+2x-1 | ||
+ | + g(x)=x<sup>3</sup>+6x<sup>2</sup>+14x+11 | ||
+ | - g(x)=x<sup>3</sup>+2x-3 | ||
+ | + g(x)=(x+2)<sup>3</sup>+2(x+2)-1 | ||
+ | - g(x)=(x-2)<sup>3</sup>+2(x-2)-1 | ||
+ | |||
+ | { In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)<sup>2</sup>+2 gegenüber der Funktion f(x)=x<sup>2</sup>+2 verschoben?} | ||
+ | + nach links | ||
+ | - nach rechts | ||
+ | - in positiver y-Richtung | ||
+ | - in positiver x-Richtung | ||
+ | + in negativer x-Richtung | ||
+ | - in negativer y-Richtung | ||
+ | - nach oben | ||
+ | - nach unten | ||
+ | |||
+ | </quiz> </div> | ||
+ | |} <br /> | ||
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+ | [[Facharbeit Florian Wilk/Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen|Weiter zum Kapitel Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen]] | ||
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 15:59 Uhr
Verschieben von Funktionsgraphen1.Verschiebung nach oben/untenProblemstellung:
Erklärung:
Beispiel: f(x)=x3
Verschiebung um 3 Einheiten nach oben → g(x)=f(x)+3
Merke: Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. 2.Verschiebung nach rechts/linksProblemstellung:
Beispiel: f(x)=x3+2x2
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:
Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.
Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).
3.Beispielaufagben Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.
Aufgabe 3:
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. |
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