Lösung von Teilaufgabe d: Unterschied zwischen den Versionen

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== Kongruenz der Dreiecke ==
 
== Kongruenz der Dreiecke ==
  
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Die Dreiecke werden durch die Punkte '''R<sub>a</sub>''' ( a / f <sub>a</sub> (a) ), '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / f <sub>a</sub> ( a + 1 )) und '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / f<sub>a</sub> ( a + 2 )) festgelegt.
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Die Dreiecke werden durch die Punkte <math>\; R_a\;( a / f_a (a))</math>, <math>H_a\; ( a + 2 / f_a ( a + 2 ))</math> und <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> festgelegt.
  
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<u>1.Punkt : '''R<sub>a</sub>''' ( a / f <sub>a</sub> (a))</u>
 
  
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        <math>f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }</math><br />
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=== 1.Punkt :  <math>\; R_a\;( a / f_a (a))</math> ===
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          <math> = 0\cdot e^{ 2 }
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:        <math>f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }</math><br />
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:::          <math> = 0\cdot e^{ 2 }</math><br />
 
   
 
   
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                = 0 </math><br />
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:::          <math> = 0\;</math>  
 
      
 
      
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Der Punkt '''R<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''R<sub>a</sub>''' ( a / 0 )
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Der Punkt '''R<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei <span style="color: red">'''R<sub>a</sub>''' ( a / 0 )</span>
  
  
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<u>2.Punkt : '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / f <sub>a</sub> ( a + 1 ))</u>
 
  
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    <math>f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }</math><br />
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=== 2.Punkt : <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> ===
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          <math> = 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }</math><br />
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          <math> = 1 \cdot  e^{1}
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          = e </math><br />
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:    <math>f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }</math><br />
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::::          <math> = 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }</math><br />
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::::          <math> = 1 \cdot  e^{1}</math><br />
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::::          <math> = e\; </math><br />
 
   
 
   
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Der Punkt '''H<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )
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Der Punkt '''H<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei <span style="color: red">'''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )</span>
  
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<u>3.Punkt : '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / f<sub>a</sub> ( a + 2 ))</u>
 
  
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    <math>f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }</math><br />
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        <math> = 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }</math><br />
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=== 3.Punkt : <math>W_a\;( a + 2 / f_a ( a + 2 ))</math> ===
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        <math> = 2 \cdot  e^{0}
+
 
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          = 2 </math><br />
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:    <math>f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }</math><br />
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::::        <math> = 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }</math><br />
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::::        <math> = 2 \cdot  e^{0}</math><br />
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::::          <math>= 2 \;</math><br />
 
   
 
   
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Der Punkt '''W<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )
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Der Punkt '''W<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei <span style="color: red">'''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )</span>
  
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Mit den nun drei bestimmten Punkten '''R<sub>a</sub>''', '''H<sub>a</sub>''' und '''W<sub>a</sub>''' lässt sich sagen, dass die Dreiecke kongruent sein müssen. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben lassen. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschieben kann und somit immer kongruent ist.
 
  
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BILD (GEOGEBRA) EINFÜGEN
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Mit den drei bestimmten Punkten '''R<sub>a</sub>''', '''H<sub>a</sub>''' und '''W<sub>a</sub>''' lässt sich erkennen, dass die Dreiecke für alle verschiedene a kongruent sind. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschiebt und somit immer kongruent ist.
  
 
== Flächeninhalt des Dreiecks ==
 
== Flächeninhalt des Dreiecks ==
  
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  <math>im R^{2}: A = \frac{1}{2}  | ( a_1\cdot  b_2 - a_2\cdot b_1) + (  b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |</math>
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks im zweidimensionalen Raum beträgt nach Angaben in der Formelsammlung (Mathematische Formeln und Definitionen von Barth, Mühlbauer, Nikol, Wörle) auf Seite 81: 
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<math>im R^{2}: A = \frac{1}{2}  | ( a_1\cdot  b_2 - a_2\cdot b_1) + (  b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |</math>
 
   
 
   
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siehe Formelsammlung Seit 81
 
  
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Definiere:  
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<math>Definiere: \;</math><br />
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A (a<sub>1</sub> / a<sub>2</sub> ) =  '''R<sub>a</sub>''' ( a / 0 )
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<math> A\; (\;a_1 \;/\; a_2 \;) =  R_a \;(\; a \;/\; 0\; )</math><br />
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B (b<sub>1</sub> / b<sub>2</sub> ) =  '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )
+
<math> B\; (\;b_1 \;/\; b_2 \;) =  H_a \;( \;a + 1\; /\; e \;)</math><br />
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C (c<sub>1</sub> / c<sub>2</sub> ) =  '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )
+
<math> C\; (\;c_1 \;/\; c_2 \;) =  W_a \;(\; a + 2 \;/ \;2 \;)</math><br />
  
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<math> A_F = \frac{1}{2}  | ( a\cdot  e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |</math>
+
 
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    <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e - 0 +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  +  0 - 2\cdot a ) |</math>
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: <math> A_F = \frac{1}{2}  | ( a\cdot  e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |</math><br />
−
    <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e  +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  - 2\cdot a ) |</math>
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::    <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e - 0 +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  +  0 - 2\cdot a ) |</math><br />
−
    <math>  = \frac{1}{2}  |  2 -2\cdot e  |</math>
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::    <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e  +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  - 2\cdot a ) |</math><br />
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    <math>  = \frac{1}{2}\cdot2 |  1 - e |</math>
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::    <math>  = \frac{1}{2}  |  2 -2\cdot e  |</math><br />
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    <math>  = 1\cdot |  1 - e |
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::    <math>  = \frac{1}{2}\cdot2 |  1 - e |</math><br />
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::    <math>  = 1\cdot |  1 - e |</math><br />
 
   
 
   
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            = |  1 - e  |</math>
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::      <math>      = |  1 - e  |\;</math><br />
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    <math>\approx  1,718</math>
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::    <math>\approx  1,718</math><br />
 
   
 
   
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Der Flächeninhalt beträgt, unabhängig von a, | 1 - e |.
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Der Flächeninhalt beträgt, '''unabhängig''' von '''a''', <span style="color: red">'''| 1 - e |'''.</span>
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== Grafik zur Kongruenz und zum Flächeninhalt der Dreiecke ==
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1. In der Graphik lässt sich deutlich erkennen, dass die Dreiecke, bestehend aus den Punkten <math>\; R_a\;( a / f_a (a))</math>, <math>W_a\; ( a + 2 / f_a ( a + 2 ))</math><br /> und <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> für alle a kongruent (deckungsgleich) sind.<br />
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2. Aus erstens folgt zwangsweise auch, dass der Flächeninhalt für alle a gleich groß ist. Dies lässt sich auch deutlich in der Grafik erkennen.
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<ggb_applet width="773" height="412"  version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFmkNzwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5VjbbuM2EH3ufgWhpxZd27pYvgB2Fu0WxQZIm6LZ7gJ9KWhpbLORSFekYjnf0z/pj3V4kSzf0jjtBlk0QCCJHA1nzjkzpDx5U+UZuYNCMsGnXtD1PQI8ESnji6lXqnln5L25eDVZgFjArKBkLoqcqqkXdUNPj5fs4tUXE7kUa0IzY/KBwXrqqaIEj8hVATSVSwBlh+c0kzhOy4pljBab69nvkCi5nbA+LvmqVLWTJE+vmKwfe2a9VcbUd+yOpVCQTCRTbxBj5Hj3AQrFEppNvb5vR0JMa7A7iUORnl2Kgt0LrrT51vkcRwiR7B7wzVCPTXomzwmUScZSRrlOxsSBRoSsWaqWGII/RJfAFkuMtR/41lsiRJHebKSCnFS/QiGmXhjEGueNfYrsk8S4cMHYN1PtJ+MG7m5AKWRFElqBrLFZFCxtwNMPl/JbkW2HVoJx9ZauVFkYRiM3dKM22j8uVeh4v+GLDNxYiIgvIbmdierGYhBZ1+83K/OKiWe2eCsyUZACX4hjNHDXmb0aGx1oY+UbG99YOB/aaTMfjENjYa4zezVWGeM2NJd4UGddI0wrJoke0CiiEGtsMjoDJNYjJWfqqn5AAdy6TANr/2OZz7AA2hJoXAb/kctJb087k1soOGRWIRyJLUUpyZ1WoqXOxJFCwnJ8tBMOEKrJ+gUDsKMpLAqo47blY+Eyszsq3Bue9OogdAwSY00UtgHMR+lcdJkqLBF9l1KlR3QNZJADFogyauBlDgVLGmSop1fDJUq3UNCNXMnqFiFMue+huYUdp0/oBRvDaknxrhs4VdANln47RePtB5HWC7tlM9MjcobdrWMKLacVFpa+ozMpslLBTYIA8iuRUGW6oI3OVXXgm4qsdMswpVnX6JxVsC20461kq121RJFwkNIUmGqXEuXIsQEem8TK5oidE8Dqr7YlK8zZFHEjEFSVZUPzUmGvlbqN17j+/BvFZl6hxy/pa4Ixf1U7My3AI70DOt1Ey8G/pc40hYY8/5HktVUrNfZaRhp6g/y93aiMie1mug2bF6MDWB6UK+zLNewOg1E40v/9eOz34yPidYw/h3qNxuxIqznVm+fuxMNieNcSA/maIH6vCZwriHcvRxChE8QhYefJ4wCoj7tAhRqo8Pza+fhyoIoaqM6snUTkOeUp4TTH/H4S2WYhuMmK6fMZob5rMjRwAqOhzdymVara6vvsrz/xUMEZX9JM2RfW9QuFuYmm3tK+Oem5hY9AbEOoIdxz++iOe5qU1t7bZiWII8NLHJxZ0dfzuQRlBDu2JISnSTvdtyQs9FMT5tqp69mzfViE22w7/cCkO3icRDtHyth0+/Hu38gIOOrGUTQcDPB/PB4M49HwjN0W/uDWRtoTG8vxWyJhqtFspjfZS67w/AbmPHR4LLsFWOnT8DV/X1Au9TfRA734QSaLl85kYJtHJxg9jkp/n0krhMA1n06/Gw39CD+/omgc9Ef98efL3fIz4S6MH7un+o7r43WHVTp40WwdbOYzt5VvyJTAsU1bJ+JtrT8dm6cOhE/e1euPkaawThxdn0QVgtZQdboedsBLXj54T//Q+gfg/eeFOv2/Qu1/EqR77R8/zI997sfOi78BUEsHCJ4zfji5BAAAHhUAAFBLAQIUABQACAAIAFmkNzyeM344uQQAAB4VAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA8wQAAAAA" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /><br /><br />
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Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 21:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Kongruenz der Dreiecke

Die Dreiecke werden durch die Punkte \; R_a\;( a / f_a (a)), H_a\; ( a + 2 / f_a ( a + 2 )) und H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 )) festgelegt.


1.Punkt : \; R_a\;( a / f_a (a))

f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }
= 0\cdot e^{ 2 }
= 0\;

Der Punkt Ra liegt für alle a bei Ra ( a / 0 )


2.Punkt : H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))

f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }
= 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }
= 1 \cdot e^{1}
= e\;

Der Punkt Ha liegt für alle a bei Ha ( a + 1 / e )


3.Punkt : W_a\;( a + 2 / f_a ( a + 2 ))

f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }
= 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }
= 2 \cdot e^{0}
= 2 \;

Der Punkt Wa liegt für alle a bei Wa ( a + 2 / 2 )


Mit den drei bestimmten Punkten Ra, Ha und Wa lässt sich erkennen, dass die Dreiecke für alle verschiedene a kongruent sind. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschiebt und somit immer kongruent ist.

Flächeninhalt des Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks im zweidimensionalen Raum beträgt nach Angaben in der Formelsammlung (Mathematische Formeln und Definitionen von Barth, Mühlbauer, Nikol, Wörle) auf Seite 81:

im R^{2}: A = \frac{1}{2} | ( a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1) + ( b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |


Definiere: \;
A\; (\;a_1 \;/\; a_2 \;) = R_a \;(\; a \;/\; 0\; )
B\; (\;b_1 \;/\; b_2 \;) = H_a \;( \;a + 1\; /\; e \;)
C\; (\;c_1 \;/\; c_2 \;) = W_a \;(\; a + 2 \;/ \;2 \;)


A_F = \frac{1}{2} | ( a\cdot e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | a\cdot e - 0 + 2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e + 0 - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | a\cdot e + 2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | 2 -2\cdot e |
= \frac{1}{2}\cdot2 | 1 - e |
= 1\cdot | 1 - e |
= | 1 - e |\;
\approx 1,718

Der Flächeninhalt beträgt, unabhängig von a, | 1 - e |.

Grafik zur Kongruenz und zum Flächeninhalt der Dreiecke

1. In der Graphik lässt sich deutlich erkennen, dass die Dreiecke, bestehend aus den Punkten \; R_a\;( a / f_a (a)), W_a\; ( a + 2 / f_a ( a + 2 ))
und H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 )) für alle a kongruent (deckungsgleich) sind.
2. Aus erstens folgt zwangsweise auch, dass der Flächeninhalt für alle a gleich groß ist. Dies lässt sich auch deutlich in der Grafik erkennen.




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