Lösungsübersicht: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die Seite wurde neu angelegt: == Funktion == Stammfunktion: <math> F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br /> Funktion: <math> y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}...)
 
(→‎Teilaufgabe a))
 
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== Funktion ==
 
== Funktion ==
  
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Stammfunktion:     <math> F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br />
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:<math>Stammfunktion:    \;\;\; F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br />
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Funktion:     <math> y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x} </math> <br />
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1. Ableitung:     <math> f^{'}_a (x) = ( x - a - 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br />
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:<math>Funktion:    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x} </math> <br />
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2. Ableitung:     <math> f^{''}_a (x) = ( x - a - 2 )\cdot e^{a + 2 - x} </math> <br />
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3. Ableitung:     <math> f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br />
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:<math>1. Ableitung:  \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; f^{'}_a (x) = ( x - a - 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br />
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:<math>2. Ableitung:    \;\;\;\; \;\;\;\;\;\;f^{''}_a (x) = ( x - a - 2 )\cdot e^{a + 2 - x} </math> <br />
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:<math>3. Ableitung:    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br />
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Der Graph von <math>f_a(x)\,</math>
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=== Teilaufgabe a) ===
 
=== Teilaufgabe a) ===
  
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Nullstelle:                                 NS         ( a / 0 )
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:<math>Nullstelle: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;NS \; ( \;a\;/ \;0 \;)\;</math>
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Schnittpunkt mit der y-Achse:                SP<sub>y-Achse</sub> ( 0 / -a * e<sup>a + 2</sup>)
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Extrempunkt:                                Max        ( 1 + a / e )
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Wendepunkt:                                  WP        ( a + 2 / 2 )
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  Funktionsgleichung aller Extrempunkte:       h (x) = e
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:<math>Schnittpunkt\; mit \;der\; y-Achse: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;SP_{y-Achse} \;( \;0 \;/\; -a \cdot e^{a+2}\;)\;</math>
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:<math>Extrempunkt:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Max  \;  (\; 1 + a \;/\; e\; )\;</math>
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:<math>Wendepunkt:  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; WP \;    (\; a + 2 \;/ \;2 \;)\;</math>
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:<math>Funktionsgleichung\; aller\; Extrempunkte: \;\;\;\;\;\;\;\;\;    h (x) = e\;</math>
  
 
=== Teilaufgabe b) ===
 
=== Teilaufgabe b) ===
  
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1.
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:<math>1.\;</math> Für <math>-\infty < x < a</math> ist der G<sub>F<sub>a</sub></sub> streng monoton fallend. <br />
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  2. Stammfunktion:    <math> F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br />
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::  Für <math>a < x < \infty </math> ist der G<sub>F<sub>a</sub></sub> streng monoton steigend.<br />
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3. Flächeninhalt zw. x-Achse und f<sub>2</sub>:    A = e<sup>2</sup>
+
::  Für <math>x = a\;</math> besitzt G<sub>F<sub>a</sub></sub> einen Tiefpunkt.<br />
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:<math>2.\;</math> Stammfunktion:    <math> F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x}) </math> <br />
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:<math>3.\;</math> Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f<sub>2</sub>:    <math>A = e^{2}\;</math>
  
 
=== Teilaufgabe c) ===
 
=== Teilaufgabe c) ===
  
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  1. a = 2008
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: <math>1.\;\;a = 2008\;</math>
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  2. <math>B_1(1 + \sqrt{3} / 2,601)</math>
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    <math> B_2(1 - \sqrt{3} / -310,164)</math>
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: <math>2.\;\;B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)</math>
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::  <math>\;\;\;\;\;\;\; B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)</math>
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=== Teilaufgabe d) ===
 
=== Teilaufgabe d) ===
  
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:<math>1.\;\;R_a \;\;(\; a\; /\; 0\; )\;</math><br />
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::<math>H_a \;\;(\; a + 1 \;/\; e\; )\;</math><br />
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::<math>W_a \;\;(\; a + 2 \;/\; 2 \;)\;</math><br />
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:Da sich die y-Werte dieser Punkte nicht verändern, haben diese immer denselben Abstand <br />  zueinander. Deshalb sind alle Dreiecke, die durch diese Punkte festgelegt sind, kongruent.
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:<math>2. \;\;| 1 - e |  \approx 1,718</math>
  
  
  
 
=== Teilaufgabe e) ===
 
=== Teilaufgabe e) ===
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:<math>f_a^{(n)'}(x)= f_a^{(n+1)}(x)</math><br />
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::::<math>=(-1)^{(n+1)+1}\cdot((n+1)-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math>
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--[[Benutzer:Andre Etzel|Andre Etzel]] 23:18, 22. Jan. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 21:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Funktion

Stammfunktion: \;\;\; F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1)
Funktion: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}
1. Ableitung: \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; f^{'}_a (x) = ( x - a - 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1)
2. Ableitung: \;\;\;\; \;\;\;\;\;\;f^{''}_a (x) = ( x - a - 2 )\cdot e^{a + 2 - x}
3. Ableitung: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1)

Der Graph von f_a(x)\,

Teilaufgabe a)

Nullstelle: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;NS \; ( \;a\;/ \;0 \;)\;
Schnittpunkt\; mit \;der\; y-Achse: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;SP_{y-Achse} \;( \;0 \;/\; -a \cdot e^{a+2}\;)\;
Extrempunkt:\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Max \; (\; 1 + a \;/\; e\; )\;
Wendepunkt: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; WP \; (\; a + 2 \;/ \;2 \;)\;
Funktionsgleichung\; aller\; Extrempunkte: \;\;\;\;\;\;\;\;\; h (x) = e\;

Teilaufgabe b)

1.\; Für -\infty < x < a ist der GFa streng monoton fallend.
Für a < x < \infty ist der GFa streng monoton steigend.
Für x = a\; besitzt GFa einen Tiefpunkt.
2.\; Stammfunktion: F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x})
3.\; Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f2: A = e^{2}\;

Teilaufgabe c)

1.\;\;a = 2008\;
2.\;\;B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)
\;\;\;\;\;\;\; B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)


Teilaufgabe d)

1.\;\;R_a \;\;(\; a\; /\; 0\; )\;
H_a \;\;(\; a + 1 \;/\; e\; )\;
W_a \;\;(\; a + 2 \;/\; 2 \;)\;
Da sich die y-Werte dieser Punkte nicht verändern, haben diese immer denselben Abstand
zueinander. Deshalb sind alle Dreiecke, die durch diese Punkte festgelegt sind, kongruent.
2. \;\;| 1 - e | \approx 1,718


Teilaufgabe e)

f_a^{(n)'}(x)= f_a^{(n+1)}(x)


=(-1)^{(n+1)+1}\cdot((n+1)-x+a)\cdot e^{a+2-x}


--Andre Etzel 23:18, 22. Jan. 2010 (UTC)

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