Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

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<br /> Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben
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des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. <br /> <br />
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<ggb_applet width="530" height="503"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br />
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'''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br />
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Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt. <br />
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Man kann also sagen, dass der Graph g &nbsp; a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x &nbsp; 3 Einheiten größer ist, als
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der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw.
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nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben</span>.  <br />
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:Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: <span style="color: blue">g(x)=f(x)</span><span style="color: red">+a</span>.  <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup> <br />
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:::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br />
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Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>  →  g(x)=f(x)+3 <br />
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::: g(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
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::: g(1)=<span style="color: green">1</span><span style="color: red">+3</span> <br />
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::: g(1)=4 </div> <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:'''</span>''' <br />
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Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x)'''<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung.'''  <br />
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Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). </div> <br /> <br /> <br /> <br />
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== <span style="color: blue">2.Verschiebung nach rechts/links</span> ==
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'''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br />
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Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst. <br />
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Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden. <br /> <br />
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<ggb_applet width="733" height="503"  version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIABuJNzwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1stVZNb9s4ED23v4LgKWkRW7IsOwGsFP1AgQLp7sHdLtDDApQ0llhTpEBSjpxf3yEp2Y63C6Ro9kRyOBq+eTPz7NWbvhFkB9pwJTMaTyJKQBaq5LLKaGc3V9f0ze3LVQWqglwzslG6YTajyWRGnb3jty9frEyt7gkT3uUrh/uMbpgwQIlpNbDS1AD2kZ11PRec6f2f+XcorDlehCCfZNvhK1Z3aCua8o6b8Tj1D7aC2w98x0vQRKgio4sUoePuK2jLCyYyOo+CZZbR2dklmhJ3WyvNH5S0zv0YfIMWQgx/AGRk4WyrqU90BV0heMmZdMl4HOhEyD0vbZ3RZZJgSOBVjVjTKA7RCqV0ud4bCw3pv4FW+PZy4YjeD6fkxp0M4sIH0+VkEV0vbtJFOouXyU2MfuPVfDKP4+VivozS6+tZkoYHYLcGa7FghrAezMhapXl5uv9k3ilRHohuFZf2PWttp32tk8G0tnv3FgLSLpG3shIw2BBKUUOxzVW/DuQkIfSXfes/8XDy6r0SShPtaE/RYVjzsHofh/PgFXmfyHsMMVzQw318M/Mefs3D6r0ElwHakHcyJh1H4zPcEGdw9GKLjnQIlgNWnJJOcns3HrAztsdMnf8fXZPjaJz2xiFk/EwhV9OzplptQUsQoXUk1rVTnSE716KhdB5HCQVv8BguBkKYK9ZfCCBYS6g0jLjDXAW6/G102p5n5tV0BOEwGMRaWBQIzMe6XHCMTFFzyEGSHZo/dnLr7k2lWVuDdPNtcbYy+hFriJmRv7nYUlIyi1873YAehcE40QnMEUwOladvcb3oL0lG+n8ukkl0SV6T2SQir9wZN5ceHQhoAGfU+r7bdNKjOxRhQx93h62xDBKfQ02gw0dD9l64lNegs0oeS47X/9GrqFZtzXA3GcIJtkc9OqXXR/usysekM4nF84yiLLQugGuPFqAcNHgESVoM6efzpPZPyAy7KnD0L7Zk14DmxSHP3JOF4LoBYjx5Zm7iJ3Iz+BnhRb3h+Ht0lToyGtaj+Lkdy40SnYV1gY0t71ThSRzRDTIcR64eBL+ZL73Mup8Ct9nwHo4C+HPt/ym3s7Ou+Z3yParM2RRktBqGoApDgLNArkh+SckT2r76/9p+FPLfbvxfbN3pqfr4n+Hhf8jtD1BLBwhQD2hSYQMAALkIAABQSwECFAAUAAgACAAbiTc8UA9oUmEDAAC5CAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAJsDAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />  <br /> <br />
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'''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br />
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Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben <br />
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nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings <span style="color: blue">um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben</span>. Somit entspricht <br />
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der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.<br /> 
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Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: <span style="color: blue">g(x)=f</span>(<span style="color: red">x-3</span><span style="color: blue">)</span>. <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>  <br />
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:::x=1 →  f(1)=3  <br />    <br />                     
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Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br />
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:::g(x)=f(x<span style="color: red">-3</span>) <br />
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:::g(x)=(x-3)<sup>3</sup>+2(x-3)<sup>2</sup> <br />
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:::g(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br />
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:::<span style="color: green">g(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br />
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Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: red">Merke:</span>''' <br />
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Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links). </div>
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<br /> <br />
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== <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
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<popup name="Lösung">
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h(x)=f(x<span style="color: green">-2</span>) <span style="color: red">-5</span>   
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::  <span style="color: green">2 Einheiten nach rechts</span>
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:: <span style="color: red">5 Einheiten nach unten</span> <br />
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::=(x-2)<sup>3</sup>+5(x-2)-5-5 <br />
 +
::=(x-2)(x<sup>2</sup>-4x+4)+5x-10-10 <br />
 +
::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br />
 +
::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28'''
 +
</popup> </div>
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind.
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Ausgangsfunktion: <br />
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[[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br />
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a) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br /> <br />
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b) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br /> <br />
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c) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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a)  Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach oben</span>: <br />
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:::g(x)=f(x)<span style="color: red">+2</span>='''x<sup>3</sup>+2''' <br /> <br />
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b)  Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach links</span>: <br />
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:::h(x)=f(<span style="color: red">x+2</span>) <br />
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:::h(x)=(<span style="color: red">x+2</span>)<sup>3</sup> <br />
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:::h(x)=(x+2)(x<sup>2</sup>+4x+4)<br />
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:::h(x)=x<sup>3</sup>+4x<sup>2</sup>+4x+2x<sup>2</sup>+8x+8 <br />
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:::'''h(x)=x<sup>3</sup>+6x<sup>2</sup>+12x+8''' <br /> <br />
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 +
c)  Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span> und <span style="color: green">4 Einheiten nach unten</span>: <br />
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:::j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>)<span style="color: green">-4</span> <br />
 +
:::j(x)=(<span style="color: red">x-3</span>)<sup>3</sup><span style="color: green">-4</span> <br />
 +
:::j(x)=(x-3)(x<sup>2</sup>-6x+9)-4 <br />
 +
:::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br />
 +
:::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31'''
 +
</popup> </div> <br /> <br />
 +
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
 +
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> <br />
 +
<quiz display="simple">
 +
{In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x<sup>4</sup>+3x<sup>2</sup>-2x+4 ist gegenüber dem Graphen  g(x)=3x<sup>4</sup>+3x<sup>2</sup>-2x verschoben?}
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+ nach oben
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- nach unten
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- nach links
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+ in positiver y-Richtung
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{Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x<sup>3</sup>+x<sup>2</sup>+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x<sup>3</sup>+x<sup>2</sup>-2  nach oben verschoben?}
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- 4
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- gar nicht
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+ 6
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- 2
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{Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist?}
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- g(x)=x<sup>3</sup>+2x-1
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+ g(x)=x<sup>3</sup>+6x<sup>2</sup>+14x+11
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- g(x)=x<sup>3</sup>+2x-3
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+ g(x)=(x+2)<sup>3</sup>+2(x+2)-1
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- g(x)=(x-2)<sup>3</sup>+2(x-2)-1
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{ In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)<sup>2</sup>+2 gegenüber der Funktion f(x)=x<sup>2</sup>+2 verschoben?}
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 15:59 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:


Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt.



Erklärung:
Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt.
Man kann also sagen, dass der Graph g   a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x   3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben.

Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: g(x)=f(x)+a.

Beispiel: f(x)=x3
f(1)=1

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben → g(x)=f(x)+3

g(1)=f(1)+3
g(1)=1+3
g(1)=4



Merke:

Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung.

Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).




2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung:
Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x3+2x2 und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst.
Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden.




Erklärung:
Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben
nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben. Somit entspricht
der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.
Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: g(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x3+2x2
x=1 → f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

g(x)=f(x-3)
g(x)=(x-3)3+2(x-3)2
g(4)=(4-3)3+2(4-3)2
g(4)=1+2=3=f(1)


Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).



3.Beispielaufagben

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.



Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion:
Aufgabe 1.2 Verschiebungen 1.png

a) Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png

b) Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png

c) Aufgabe 1.2 Verschiebungen 4.png




Aufgabe 3:

Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1. In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x4+3x2-2x+4 ist gegenüber dem Graphen g(x)=3x4+3x2-2x verschoben?

nach oben
nach unten
nach links
in positiver y-Richtung
nach rechts

2. Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x3+x2+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x3+x2-2 nach oben verschoben?

4
gar nicht
6
2

3. Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x3+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist?

g(x)=x3+2x-1
g(x)=x3+6x2+14x+11
g(x)=x3+2x-3
g(x)=(x+2)3+2(x+2)-1
g(x)=(x-2)3+2(x-2)-1

4. In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)2+2 gegenüber der Funktion f(x)=x2+2 verschoben?

nach links
nach rechts
in positiver y-Richtung
in positiver x-Richtung
in negativer x-Richtung
in negativer y-Richtung
nach oben
nach unten

Punkte: 0 / 0

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