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| − | == Zum Einstieg: "Was ist und was bringt mir eine Funktion?" ==
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| − | === Was ist eine Funktion? ===
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| − | So wie im täglichen Leben Statistiken oder Tabellen erstellt werden, können auch in der Mathematik sogenannte Funktionen erstellt werden. Diese sind, ähnlich wie bei einer Tabelle, abhängig von zwei meist unterschiedlichen Größen. Bei den mathematischen Funktionen ist es so, dass einer '''bestimmten Menge auf der x – Achse''', eine '''bestimmte Menge auf der y - Achse zugeordnet''' wird. Bei rein mathematischen Überlegungen handelt es sich bei den beiden Mengen um den sogenannten x – Wert beziehungsweise y – Wert. Bei Funktionen mit Einheiten, wie zum Beispiel in der Physik der „Waagrechte Wurf“, wird dem x – Wert die Einheit Länge in Meter gegeben und dem y – Wert Höhe in Meter zugeteilt. Jedoch ist zu beachten, dass bei Funktionen '''jedem x - Wert nur ein y – Wert zugeordnet werden kann'''. Es ist also nicht möglich, dass eine Funktion mit dem x – Wert x1 zwei y – Werte y1 und y2 hat. Der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Wertetabelle ist lediglich, dass die Funktion eine graphische Abbildung der Wertetabelle darstellt.
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| − | === Welche Informationen kann ich aus einer Funktion bekommen? ===
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| − | • ''Wann berührt die Funktion die x - Achse? (genannt: Nullstelle)''
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| − | Dazu setzt man f(x) gleich Null und löst nach der Variablen x auf. Die Nullstelle hat die Koordinaten NS ( x / 0 )
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| − | • ''Wann berührt die Funktion die y – Achse? (genannt: y – Achsenabschnitt)''
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| − | Um den y - Achsenabschnitt zu erhalten setzt man in die Funktion f(x) für x = 0 ein. Nach Auflösen des Terms erhält man den gewünschten y - Wert. Der y - Achsenabschnitt hat die Koordinaten AA ( 0 / y )
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| − | ::<span style="color: darkblue">'''Wann besitzt der Graph einen y - Achsenabschnitt und eine Nullstelle?'''
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| − | ::<span style="color: darkblue">Nutze den Schieberegler um die Funktion zu verändern...
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| − | ::<span style="color: darkblue">!GeogebraApplet zu Nullstelle und Achsenabschnitt!</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | '''Jede Funktion hat einen y - Achsenabschnitt,''' (Ausnahme wäre eine gebrochen - rationale Funktion, bei welcher ein Wert für x = 0 nicht definiert wäre)''' jedoch besitzt nicht jede Funktion Nullstellen.'''
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| − | • ''Was passiert wenn die Funktion gegen ± ∞ geht?''
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| − | Man lässt x gegen Unendlich laufen. Bei Polynomfunktionen klammert man immer die höchste Potenz aus, sodass man, aus den ganzen Summanden, ein Produkt erhält. Eine Beispielfunktion wäre:
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| − | f(x) = x³ - 2x² + x + 2
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| − | <math>\lim_{x\to\infty}</math>f (x) = <math>\lim_{x\to\infty}</math> x³ - <math>\frac{2}{x}</math> + <math>\frac{1}{x^2}</math> + <math>\frac{2}{x^3}</math> = <math>\lim_{x\to\infty}</math> x³ (1 - <math>\frac{2}{x}</math> + <math>\frac{1}{x^2}</math> + <math>\frac{2}{x^3}</math>)
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| − | Nun kann man einfach ablesen, dass <math>\lim_{x\to\infty}</math> x³ gegen <math>\infty</math> geht und die Klammer gegen 1, da alle Summanden die x im Nenner haben, gegen Null gehen. Daraus folgt das der Graph für + <math>\infty</math> gegen + <math>\infty</math> geht und für - <math>\infty</math> gegen - <math>\infty</math> geht.
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