Aufstellen und Interpretieren von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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A(a;b)= 6•a•b+6•a•a = 6ab+6a<sup>2</sup>
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A(a;b)= 8•a•b+6•a•a = 8ab+6a<sup>2</sup>
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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A(1;4)= 6•1cm•4cm+6•(1cm)<sup>2</sup> = 24cm<sup>2</sup>+6•1cm<sup>2</sup> = 24cm<sup>2</sup>+6cm<sup>2</sup> = 30 cm<sup>2</sup>
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A(1;4)= 8•1cm•4cm+6•(1cm)<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6•1cm<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6cm<sup>2</sup> = 38 cm<sup>2</sup>
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:
 
<span style="color: green"><u>Rezept</u></span>
 
<span style="color: green"><u>Rezept</u></span>
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# Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
 
# Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
 
# Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
 
# Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
 
# Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
 
# Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
  
 
# Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist A<sub>R</sub> = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt A<sub>F</sub>= 6•2•1
 
# Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist A<sub>R</sub> = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt A<sub>F</sub>= 6•2•1
−
# Variablen einführen: Wähle für 2=i und für 1=j
+
# Variablen einführen: Wähle für 2=a und für 1=b
−
# Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•i•j
+
# Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•a•b
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: Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus <math>Q</math> einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also <math>D</math>=<math>Q</math><sup>+</sup>
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: Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus <math>\mathbb{Q}</math> einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also <math>\mathbb{D}</math>=<math>\mathbb{Q}</math><sup>+</sup>
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==<span style="color: green">Interpretieren von Termen </span> ==
 
==<span style="color: green">Interpretieren von Termen </span> ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
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'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
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<br />Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis: Wenn Herr Flimmer seinen Preis um 1 € senken würde, würde er 200 Karten mehr verkaufen.
 +
{|width="99%"
 +
|width="40%" style="vertical-align:top"|
 +
Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt:
 +
<br />E(x) = (8 - x) •( 500 + 200• x )
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<br />
 +
* Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat.
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* Wie viele Karten verkauft er dann?
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<br /><popup name="Lösung">
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* x steht hier für die Veränderung des Preises [8-x]
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Die Formel bedeutet, dass um jeden Euro, den Herr Flimmer die Kinokarte senkt, ihn 200 Gäste mehr besuchen werden.
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<br />Die größten Einnahmen kann man aus dem Diagramm ablesen: Bei einem Preis von 7 € (Veränderung des Preises um 1 Einheit). Die Einnahmen sind hier 4900€.
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* Wenn er die Karten für 7€ verkauft, ändert er seinen ursprünglichen Preis um 1, das heißt er verkauft zu den 500 Karten zusätzlich noch 200, also insgesamt 700 Karten
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</popup>
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|width="20%" style="vertical-align:top"|
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[[Bild:kinodiagramm.jpg|450px]]
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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<br /> <br /> Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben.
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''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
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| valign="top" |
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<br /> <br /> Um einen Term interpretieren zu können, musst du erst die Bedeutung der Variablen klären.
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Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.
 
Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.
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|width="5%" style="vertical-align:top"|
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[[Bild:rechteck_bspaufg2.2neu.jpg]] <br /> <br />
 
[[Bild:rechteck_bspaufg2.2neu.jpg]] <br /> <br />
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[[Bild:erklärwurm.gif]]
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''<br />
+
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''<br />
 
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.
 
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.
  
−
* Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, der die Kosten der Internetnutzung in Abhängigkeit der gesurften Zeit x angibt.
+
* Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, wobei x die gesurfte Zeit angibt.
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
: Für Netzfetz: T<sub>1</sub> (x) = (x-10)•2
 
: Für Netzfetz: T<sub>1</sub> (x) = (x-10)•2
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|-
 
|-
 
| T<sub>1</sub> (x) = (x-10)2
 
| T<sub>1</sub> (x) = (x-10)2
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| 20
+
| 20 €
−
| 30
+
| 30 €
−
| 40
+
| 40 €
−
| 50
+
| 50 €
−
| 60
+
| 60 €
 
|-
 
|-
 
| T<sub>2</sub> (x) = (x-20)4
 
| T<sub>2</sub> (x) = (x-20)4
−
| 0
+
| 0 €
−
| 20
+
| 20 €
−
| 40
+
| 40 €
−
| 60
+
| 60 €
−
| 80
+
| 80 €
 
|}
 
|}
 
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.
 
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.
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* Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.<br />
 
* Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.<br />
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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[[Bild:diagramm_internetprovider.jpg]]
+
[[Bild:diagramm_internetprovider2.jpg]]
 
</popup> </div><br />
 
</popup> </div><br />
  
 
==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
 
==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
  
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''  
 +
<br />Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:
  
 
a) Addiere 2 zum Quadrat von x
 
a) Addiere 2 zum Quadrat von x
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d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl
 
d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl
  
−
e) Multipliziere den Vorgänger der natürlichen Zahl n mit seinem Nachfolger
 
  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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d) T(x)= x(-x)
 
d) T(x)= x(-x)
  
−
e) T(n)= (n-1)(n+1)
 
 
</popup> </div>
 
</popup> </div>
  
  
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''<br />Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!
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[[Bild:termgliederungsbaum2.1.jpg]]
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[[Bild:termgliederungsbaum2.1.jpg|550px]]
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-<math>\frac{x}{2}</math>)
 
Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-<math>\frac{x}{2}</math>)
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n<sup>2</sup>+2 lautete.
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
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Warum gibt es meist zwei Möglichkeiten?
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<br />Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n<sup>2</sup>+2 lautete.
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Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?
  
 
a) T(?)= 18
 
a) T(?)= 18
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Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.
 
Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.
  
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* A(8cm;2cm)
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* n = 2 cm
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* A(10cm;5cm)
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* m = 5 cm
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* A(12cm;9cm)
+
* g = g<sub>1</sub> = 2 cm
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* A(15cm;13cm)
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<u>Hinweis: Die Figur ist Achsensymmetrisch</u>
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<u>Hinweis: Die Figur ist achsensymmetrisch.</u>
 
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[[Bild:drachenviereckaufg4.jpg]] <br /> <br />
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[[Bild:Drachenviereckneu.jpg]] <br /> <br />
 
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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{|width="99%"
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|width="40%" style="vertical-align:top"|
 
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: A<sub>D</sub> <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">a</span>•<span style="color: darkorange">h<sub>a</sub>
 
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: A<sub>D</sub> <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">a</span>•<span style="color: darkorange">h<sub>a</sub>
 
</span>
 
</span>
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<br />Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe h<sub>a</sub> ist hier g
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<br />Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also: A<sub>D</sub> = <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">(m+n)</span>•<span style="color: darkorange">g</span> = <math>\frac{1}{2}</math> • (m+n)•g
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<br />
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Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A<sub>DV</sub> zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: '''A<sub>DV</sub>''' = 2•A<sub>D</sub> = 2•<math>\frac{1}{2}</math>•(m+n)• g= '''(m+n)g'''
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<br /><br />
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|width="20%" style="vertical-align:top"|
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|width="55%" style="vertical-align:center"|
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[[Bild:Drachenviereck_lösung.jpg]]
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In diesem Fall also: A<sub>D</sub> = <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">(m+n)</span>•<span style="color: darkorange">2</span> = (m+n)•2•<math>\frac{1}{2}</math> = (m+n)•1
 
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Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A<sub>DV</sub> zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: '''A<sub>DV</sub>''' = 2•A<sub>D</sub> = 2•(m+n)= '''2•(m+n)'''
 
  
 
<u>Hinweis:</u> Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.
 
<u>Hinweis:</u> Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.
  
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Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: A<sub>DV</sub>= (4•<math>\frac{n}{2}</math> )+(4•<math>\frac{m}{2}</math> )
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Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: A<sub>DV</sub>= <math>\frac{1}{2}</math> (g+g<sub>1</sub>)n + <math>\frac{1}{2}</math> (g+g<sub>1</sub>)m
  
 
Das Ergbenis ist gleich.
 
Das Ergbenis ist gleich.
  
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* A(8cm;2cm)= 2cm(8cm+2cm)=2cm•10cm= 20cm<sup>2</sup>
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A<sub>DV</sub> = (5cm+2cm)2cm = 14cm<sup>2</sup>
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* A(10cm;5cm)= 2cm(10cm+5cm)= 2cm•15cm= 30cm<sup>2</sup>
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* A(12cm;9cm)= 2cm(12cm+9cm)= 2cm•21cm= 42cm<sup>2</sup>
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* A(15cm;13cm)= 2cm(15cm+13cm)= 2cm•28cm= 56cm<sup>2</sup>
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</popup> </div>
 
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[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen|Weiter zum nächsten Kapitel]]
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[[Lernpfad Terme/Umformen von Termen|Weiter zum nächsten Kapitel]]
  
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[[Benutzer:Walla Marina/Facharbeit Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]
+
[[Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]

Aktuelle Version vom 11. November 2018, 18:10 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufstellen und Interpretieren von Termen

Aufstellen von Termen

Aufgabenstellung:

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.

Einstiegsaufg termaufstellen2neu.jpg




Setze nun für a=1cm und b=4cm ein



Erklärung:
Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:

Rezept

  1. Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
  2. Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
  3. Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge

Erklärwurm.gif


Beispiel:




Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.



BspTermaufstellenneu1.jpg


Interpretieren von Termen

Aufgabenstellung:
Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis: Wenn Herr Flimmer seinen Preis um 1 € senken würde, würde er 200 Karten mehr verkaufen.

Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt:
E(x) = (8 - x) •( 500 + 200• x )

  • Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat.
  • Wie viele Karten verkauft er dann?

Kinodiagramm.jpg




Erklärung:



Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben.

Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.

Rechteck bspaufg2.2neu.jpg

Erklärwurm.gif


Beispiel:
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.

  • Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, wobei x die gesurfte Zeit angibt.
  • Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?
  • Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1:


Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:

a) Addiere 2 zum Quadrat von x

b) Addiere 6 zum vierfachen der Zahl n

c) Multipliziere die Summe aus b und der Zahl 7 mit 4

d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl



Aufgabe 2:
Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!

Termgliederungsbaum2.1.jpg


Aufgabe 3:


Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n2+2 lautete. Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?

a) T(?)= 18

b) T(?)= 38

c) T(?)= 3

d) T(?)= 6


Aufgabe 4:



Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet.

Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.

  • n = 2 cm
  • m = 5 cm
  • g = g1 = 2 cm

Hinweis: Die Figur ist achsensymmetrisch.



Drachenviereckneu.jpg



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