Abi 2017 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen
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b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G<sub>h</sub>. Geben Sie den Grenzwert von h für x → +∞ an und begründen Sie, dass | b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G<sub>h</sub>. Geben Sie den Grenzwert von h für x → +∞ an und begründen Sie, dass | ||
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− | Die Funtkion <math> h*:x \mapsto h(x) </math> mit Definitionsmenge [1;+∞[ unterscheidet sich von er Funktion h nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu h ist die Funktion h* umkehrbar. <br /> | + | Die Funtkion <math> h^{*}:x \mapsto h(x) </math> mit Definitionsmenge [1;+∞[ unterscheidet sich von er Funktion h nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu h ist die Funktion h* umkehrbar. <br /> |
d) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von h* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h* und der Geraden mit der Gleichung y = x . | d) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von h* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h* und der Geraden mit der Gleichung y = x . | ||
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− | c) Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t∈[0;10] | + | c) Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t∈[0;10] die Beziehung V(t+6)=V(t)-350 gilt.<br /> |
+ | Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für t = 5 diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.<br /> | ||
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− | In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 ≤ t ≤ 12 modellhaft durch die in IR definierte Funktion <math> f:t \mapsto 0,4 \cdot (2t^{3}-39t^{2}+180t </math> beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Volumens in <math> \frac{m^{3}}{h}</math>. | + | In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 ≤ t ≤ 12 modellhaft durch die in IR definierte Funktion <math> f:t \mapsto 0,4 \cdot (2t^{3}-39t^{2}+180t) </math> beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Volumens in <math> \frac{m^{3}}{h}</math>. |
d) Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 < t < 7,5 positiv und für 7,5 < t < 12 negativ sind. | d) Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 < t < 7,5 positiv und für 7,5 < t < 12 negativ sind. | ||
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− | e) Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals <math> \int_{a}^{b} g (t)\,dt </math> für | + | e) Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals <math> \int_{a}^{b} g (t)\,dt </math> für 0 ≤ a < b ≤ 12 im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des |
− | Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150m<sup>3</sup> Wasser im Becken | + | Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150m<sup>3</sup> Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt. |
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Version vom 28. März 2018, 14:04 Uhr
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Gegeben ist die in IR+ definierte Funktion a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Ghim Punkt (e | 0 )und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet. (zur Kontrolle: h'(x)= 3 ⋅ lnx)
b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von Gh. Geben Sie den Grenzwert von h für x → +∞ an und begründen Sie, dass [-3;+∞[ die Wertemenge von h ist.
c) Geben Sie für die Funktion h und deren Ableitungsfunktion h'jeweils das Verhalten für x → 0 an und zeichnen Sie Gh im Bereich 0 ≤ x ≤ 0,75 in Abbildung 1 ein.
Die Funtkion d) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von h* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h* und der Geraden mit der Gleichung y = x .
e)Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von h* unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt S, in Abbildung 1 ein.
f) Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt A0 dem Wert des Integrals |
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in [0;16] definierten Funktion a) Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 450m3 beträgt.
b) Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion V näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. c) Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t∈[0;10] die Beziehung V(t+6)=V(t)-350 gilt.
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 ≤ t ≤ 12 modellhaft durch die in IR definierte Funktion d) Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 < t < 7,5 positiv und für 7,5 < t < 12 negativ sind.
e) Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals |