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Version vom 19. September 2013, 19:05 Uhr

"In der Welt geschieht nichts, worin man nicht den Sinn
eines bestimmten Maximums oder Minimums erkennen könnte." -Leonhard Euler

Leonhard Euler

Leonhard Euler

Die Euler'sche Zahl e als Basis der natürlichen Exponentialfunktion

e = 2,718281728...
Die Eulersche Zahl e ist irrational.
Unter der Zahl e versteht man den Grenzwert:
e=lim(1+1/n)ⁿ, dabei geht n gegen unendlich. Dieser Grenzwert ist vom
Herleiten der Ableitung der Exponentialfunktion bekannt und wird deshalb als Euler'sche Zahl e bezeichnet.

Merkmale der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=e^x

Die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x hat die Ableitungsfunktion f'(x)=e^x .
Eine Stammfunktion ist F(x)=e^x + c . (Stammfunktion: F'(x)=f(x))
Der Graph geht durch den Punkt (0/1).
Der Graph besitzt keine Nullstellen, da e^x > 0 ist. Dies gilt für alle x E R.
W= R⁺
Monotonie: streng monoton steigend; Extremwerte: keine Extremwerte
Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.

Übungen zum Wiki

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Übungen zur natürlichen Exponentialfunktion

1. Einstiegsaufgaben
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.

f(x)=5e^x + x

Lösung:
-Ableitung: f'(x)=5e^x + 1;
-Steigung: f'(1)=5e+1;
Abituraufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung
weiteres Lernmaterial zur Vorbereitung

Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig:
WIEDERHOLUNG:
-Bemerkung: a,b E |R⁺ \ {1} und x,y E |R
1. a^x * b^y = a^x+y
2. a^x/a^y = a^x-y
3. a^x * b^x = (a*b)^x
4. a^x/b^x = (a/b)^x
5. (a^x)^y = a^x*y