Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen: Unterschied zwischen den Versionen

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= <span style="color: green">Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen</span> =
 
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==<span style="color: green">Distributivgesetz der Multiplikation </span> ==
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
 
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Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zu s erweitert (siehe Skizze).
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Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze).
 
Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
 
Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
 
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
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Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
 
Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
 
: a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
 
: a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
 
: a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
 
: a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
 
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
 
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
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* (4+m)•2 = 4•2 + m•2 = 8 +2m
 
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==<span style="color: green">Distributivgesetz der Division </span> ==
 
==<span style="color: green">Distributivgesetz der Division </span> ==
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Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:
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<br />Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:
  
 
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* Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"
 
* Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"
  
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Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften zu Termen um und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
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Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
 
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jeder Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
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Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
 
:<math>\frac{a+b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> + <math>\frac{b}{c}</math>        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
 
:<math>\frac{a+b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> + <math>\frac{b}{c}</math>        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
  
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bzw.: (a-b):c = a:c - b:c        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
 
bzw.: (a-b):c = a:c - b:c        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
 
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
 
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
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==<span style="color: green">Ausmultiplizieren und Ausklammern </span> ==
 
==<span style="color: green">Ausmultiplizieren und Ausklammern </span> ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
 
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A<sub>F</sub> = (a+e)•(a+f)
 
A<sub>F</sub> = (a+e)•(a+f)
 
:= a(a+f)+e(a+f) =
 
:= a(a+f)+e(a+f) =
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:= (a<sup>2</sup>+af)+(ae+ef)
 
:= a<sup>2</sup>+af+ae+ef
 
:= a<sup>2</sup>+af+ae+ef
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
 
Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
 
:(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
 
:(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
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<span style="color: red"><u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u></span>
 
<span style="color: red"><u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u></span>
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[[Bild:erklärwurm.gif]]
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+
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x<sup>2</sup>+5x) + (2x+10) = x<sup>2</sup> +5x +2x +10 = x<sup>2</sup>+7x+10
 
(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x<sup>2</sup>+5x) + (2x+10) = x<sup>2</sup> +5x +2x +10 = x<sup>2</sup>+7x+10
 
<br />
 
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* (m+n+o)(m-n-o)
 
* (m+n+o)(m-n-o)
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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* (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y<sup>2</sup>) - (21+7y) = 3y+y<sup>2</sup> - 21 -7y = y<sup>2</sup> -4y-21
+
* (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y<sup>2</sup>) + (21+7y) = 3y+y<sup>2</sup> + 21 +7y = y<sup>2</sup> +10y+21
 
* (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a<sup>2</sup>+2a) - (5+5a+10) = a+a<sup>2</sup>+2a-5-5a-10 = a<sup>2</sup>+a+2a-5a-5-10 = a<sup>2</sup>-2a-15
 
* (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a<sup>2</sup>+2a) - (5+5a+10) = a+a<sup>2</sup>+2a-5-5a-10 = a<sup>2</sup>+a+2a-5a-5-10 = a<sup>2</sup>-2a-15
 
* (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) = (m<sup>2</sup>-mn-mo) + (mn-n<sup>2</sup>-no) + (mo-no-o<sup>2</sup>) = m<sup>2</sup>-mn-mo+mn-n<sup>2</sup>-no+mo-no-o<sup>2</sup> = m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>-2no-o<sup>2</sup>
 
* (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) = (m<sup>2</sup>-mn-mo) + (mn-n<sup>2</sup>-no) + (mo-no-o<sup>2</sup>) = m<sup>2</sup>-mn-mo+mn-n<sup>2</sup>-no+mo-no-o<sup>2</sup> = m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>-2no-o<sup>2</sup>
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</popup> </div>
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
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'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
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Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.
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<br />Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.
  
 
21x+14y+7
 
21x+14y+7
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)
 
21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)
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</popup> </div>
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern. Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
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Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.  
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<br />Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
 
: a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)
 
: a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)
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[[Bild:erklärwurm.gif]]
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
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''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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2a-2b = 2(a-b)
 
2a-2b = 2(a-b)
 
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a) [[Bild:quadrat.jpg]]
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a) [[Bild:Quadratundrechteck.jpg]]
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
−
Die Terme in der ersten Zeile sind jeweils vereinfachte Produkte aus 2 der Termen, die unten stehen. Finde diese Terme und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.  
+
Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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{| class="wikitable center"
 
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+
| (x+2) •(x+3) || (x-3)   • (x-1) ||(x-5) •(x+2) || (x+4) •(x-2)|| (x-1) •(x+1)|| (x+2) •(x+2) 
 
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| <strong> x<sup>2</sup> +5x+6 </strong>  || <strong> x<sup>2</sup> -4x+3 </strong> || <strong> x<sup>2</sup>-3x-10 </strong> || <strong> x<sup>2</sup>+2x-8 </strong>  || <strong> x<sup>2</sup> -1 </strong> || <strong> x<sup>2</sup>+4x+4 </strong>  
 
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'''<span style="color: darkgreen">Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!! [[Bild:schnecke_vorwort.gif]] Weiter geht's mit [[Lernpfad Terme/weitere Aufgaben|weiteren Aufgaben]] zum Üben!</span>'''
 
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[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/weitere Aufgaben|Weiter zum nächsten Kapitel]]
 
  
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[[Benutzer:Walla Marina/Facharbeit Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]
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Aktuelle Version vom 26. Februar 2011, 18:29 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen

Distributivgesetz der Multiplikation

Aufgabenstellung:

Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze). Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?

Erweitertes quadrat einstieg5.jpg


Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.


Erklärung:


Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).

a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac für alle a, b, c \in Q
a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac für alle a, b, c \in Q
(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)

Erklärwurm.gif


Beispiel:

(2-y)•3 = 2•3-y•3 = 6-3y

Multipliziere nun folgende Terme aus:

  • (4+m)•2
  • (7+z)•(-4)
  • (\frac{1}{2}+a)•\frac{1}{2}
  • (\frac{1}{3}-k)•\frac{3}{4}


Distributivgesetz der Division

Aufgabenstellung:


Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:

  • Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
  • Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt."
  • Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"

Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.

Bonbons einstieg dg-division-neu.jpg



Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.


Erklärung:

Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).

\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} für a, b, \in Q ; c \in Q \{0}

bzw.:(a+b):c = a:c + b:c für a, b, \in Q ; c \in Q \{0}

\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} für a, b, \in Q ; c \in Q \{0}

bzw.: (a-b):c = a:c - b:c für a, b, \in Q ; c \in Q \{0}

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)

Erklärwurm.gif


Beispiel:

(a+6):8 = \frac{a}{8} + \frac{6}{8} = \frac{a}{8} +\frac{3}{4}

Dividiere selbst:

  • (z-0,5):2
  • (m-c):c
  • (2,8-0,3):a

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Aufgabenstellung:

Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde. Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)

Erweitertes quadrat ausklammern.jpg




Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren). Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt AF = (a+e)•(a+f) ausmultipliziert werden kann.


Erklärung:

Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein Produkt in eine Summe.

(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
(a-b)•(c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd
(a+b)•(c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd
(a-b)•(c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd


Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!

Erklärwurm.gif


Beispiel:

(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x2+5x) + (2x+10) = x2 +5x +2x +10 = x2+7x+10
Berechne selbst:

  • (y+7)(3+y)
  • (a-5)(1+a+2)
  • (m+n+o)(m-n-o)


Aufgabenstellung:
Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.

21x+14y+7


Erklärung:

Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere gemeinsame Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.
Dieser Rechenschritt verwandelt eine Summe in ein Produkt.

a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)

Erklärwurm.gif


Beispiel:

2a-2b = 2(a-b)
Berechne selbst:

  • ax+a
  • 6z2+21z
  • 6ab3+9ab2-15ab


Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Multipliziere aus und fasse zusammen

  • (m-n)(5n+m)
  • (2a-3b)(2a-3b)
  • (5r+2)(3r+2)


Aufgabe 2:

Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.

Rechenpyramide.jpg




Aufgabe 3:

Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.

a) Quadratundrechteck.jpg

b) Rechteck.jpg




Aufgabe 4:

Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.

(x+2) •(x+3) (x-3) • (x-1) (x-5) •(x+2) (x+4) •(x-2) (x-1) •(x+1) (x+2) •(x+2)
x2 +5x+6 x2 -4x+3 x2-3x-10 x2+2x-8 x2 -1 x2+4x+4














Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!! Schnecke vorwort.gif Weiter geht's mit weiteren Aufgaben zum Üben!


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