Wendepunkt: Unterschied zwischen den Versionen

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===Aufgabe: Wendepunkt===
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===Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit===
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'''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.</span>
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:''An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.''
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:''An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.''
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::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist.</span>
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::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
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::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
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::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math><ref>[http://mathenexus.zum.de/html/analysis/kurvendiskussion/weiterfuehrendes/abl_05_zweiteAbl.htm Überprüfung des Wendepunkts]</ref>
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::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
 
  
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::Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung <math>f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2}</math> ungleich Null ist.
  
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::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
 
  
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::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>  
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::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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Die '''<span style="color: blue">blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t)</span> der schwarzen Funktion f (t) für a = 3.
 
Die '''<span style="color: blue">blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t)</span> der schwarzen Funktion f (t) für a = 3.
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<popup name="Berechnung der Steigung im Wendepunkt">
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:Um die Steigung zu bestimmen, welche der Graph im Wendepunkt besitzt, wird der t - Wert zusätzlich in die erste Ableitung <math> f_a '</math> eingesetzt. Der Wert, den man erhält ist die Steigung im Wendepunkt. Nun kann man noch die Wendetangente durch den Punkt aufstellen (siehe rote Linearfunktion im Applet).
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:Diese lineare Funktion besitzt im Wendepunkt die Steigung
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:<math>f' (\frac{4}{3}a) = - \frac{a^2}{3}</math>
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</popup>
 
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[[Facharbeit Neutert/Theoretische Überlegungen|Hier geht's zur Aufgabe: Theoretische Überlegungen]]
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[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Theoretische Überlegungen|Hier geht's zur Aufgabe: Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe]]
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[[LK Mathematik Abitur NRW 2007|Hier geht's zurück zur Übersicht]]
  
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[[Facharbeit Neutert|Hier geht's zurück zur Übersicht]]
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==Internetseiten==
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<references/>

Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 15:54 Uhr

Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Es soll in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt.
  • Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen Gf zeigt.
  • Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
  • Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht.
\Rightarrow f ''(t) = 0


An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph Gf den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist.
Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
\Rightarrow f''(t_0) = 0
\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0[1]


\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a
f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)


Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2} ungleich Null ist.


Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)

Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t) für a = 3.


Hier geht's zur Aufgabe: Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe

Hier geht's zurück zur Übersicht

Internetseiten

  1. ↑ Überprüfung des Wendepunkts
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