Extremwerte: Unterschied zwischen den Versionen
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===Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina=== | ===Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina=== | ||
| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll | + | '''''<span style="color: darkorange">Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span> |
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| − | '' | + | ''In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.''<ref>[http://woerterbuch.babylon.com/Extremwert Definition eines Extremwertes]</ref> |
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| + | ''Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.'' | ||
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:Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.'' | :Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.'' | ||
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{|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em" | {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em" | ||
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| − | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n | + | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x</math><sup>n-1</sup>''' <ref>[http://www.integralgott.de/diffr/dregeleinf.htm Potenzregel zur Ableitung]</ref> |
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:<u>Tipp:</u> | :<u>Tipp:</u> | ||
| − | :Zum | + | :Zum Nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst und was eine Ableitung ist, findest du [http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/index.htm hier] nochmal einen nützlichen Lernpfad. |
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:* Man setzt f '(t) = 0, | :* Man setzt f '(t) = 0, | ||
:* erhält eine quadratische Gleichung, | :* erhält eine quadratische Gleichung, | ||
| − | :* löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen, | + | :* löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen <ref>[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln Lösungsformel für quadratische Gleichungen]</ref>, |
:* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>. | :* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>. | ||
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| − | Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte | + | Jeder Graph G<sub>a</sub> besitzt '''zwei Extremwerte'''. In der Funktion f<sub>3</sub> sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass '''an der Stelle, an der die Ableitung '''(blaue Funktion)''' gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen''' (rot eingezeichnet). |
| − | :<ggb_applet width=" | + | :<ggb_applet width="299" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> |
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| − | ''Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und | + | ''Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.'' |
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::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum | ::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum | ||
| − | ::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem | + | ::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Punkt um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. Bei solche einem Punkt handelt es sich um '''keinen Extremwert'''. <ref>[http://www.learnable.net/freeload/mathe/M215.pdf Zur Bestimmung der Extremwerte]</ref> |
| − | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte.</span> | + | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.</span> |
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math> | ::<math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math> | ||
| − | ::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} | + | ::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} \cdot 2a - 2a = a</math> |
::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum | ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum | ||
| − | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} | + | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}a - 2a = - a</math> |
::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung | ::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung | ||
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::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math> | ::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math> | ||
| − | ::Graphische | + | ::Graphische Vorstellung: |
::<math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum, | ::<math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum, | ||
::* da links von t = 2a der Graph fällt. | ::* da links von t = 2a der Graph fällt. | ||
::* da rechts von t = 2a der Graph steigt. | ::* da rechts von t = 2a der Graph steigt. | ||
::<math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum | ::<math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum | ||
| − | ::* da links von | + | ::* da links von <math>t = \frac{2}{3}a</math> der Graph steigt. |
| − | ::* da rechts von | + | ::* da rechts von <math>t =\frac{2}{3}a</math> der Graph fällt. |
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:Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als | ||
| − | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) | + | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot \left( x - t_2 \right)</math>, |
| − | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei | + | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird. |
| − | :Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch | + | :Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch Multiplikation der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte. |
::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span> | ::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span> | ||
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
| − | ::<math>\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) | + | ::<math>\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) \cdot \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math> |
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| − | [[Bild: | + | [[Bild:Vorzeichentabelle neu.jpg|400px]] |
::<u><span style="color: red">'''Merke:'''</span></u> Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen. | ::<u><span style="color: red">'''Merke:'''</span></u> Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen. | ||
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| + | <math>\Rightarrow</math> Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass <math>E_1 \left( 2a / 0 \right)</math> Minimum und <math>E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> Maximum ist. E<sub>2</sub> ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für <math>t \rightarrow +\infty</math> die Funktionswerte gegen <math>+ \infty</math> gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E<sub>2</sub>. Das Minimum E<sub>1</sub> kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt. | ||
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| + | [[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Wendepunkt|Hier geht's zur Aufgabe: Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit]] | ||
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| + | [[LK Mathematik Abitur NRW 2007|Hier geht's zurück zur Übersicht]] | ||
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Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 15:53 Uhr
Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina
Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
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In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.[1] Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.
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Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen (rot eingezeichnet). |
n-1 
Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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Rechtskrümmung bzw Rechtskurve
ist Minimum
ist Maximum
ein.
und 
und 
der Graph steigt.
- Lösung 3: Vorzeichentabelle
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,
Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass 
Minimum und 
Maximum ist. E2 ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für 
die Funktionswerte gegen 
gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E2. Das Minimum E1 kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.
Hier geht's zur Aufgabe: Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit
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