Facharbeit Lernpfad Terme/Addieren und Subtrahieren von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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<br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b)
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Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
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1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b
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2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b
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Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.
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Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.
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<span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
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* '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt: 
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::a+b = b+a
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::a•b = b•a
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* '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
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::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
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::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
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* '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
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::a•(b+c) = a•b+a•c
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:für alle rationalen Zahlen a, b, c (c<math>\neq</math> 0) gilt:
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::(b+c):a = b:a+c:a
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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T(a;b)= 3a+(7b+2a) 
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: <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)
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:<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b 
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:= 5a+7b
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Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
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Vereinfache nun selbst folgende Terme:
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a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
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b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
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c)T(a;b)= (3+5•x)•x
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<popup name="Lösung">
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a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
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:<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b) 
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:<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b 
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:= 13a+9b
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b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
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:<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b 
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: <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
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:= 6ab+20ab
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:= 26ab
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c)T(a;b)= (3+5•x)•x
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:<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x
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:= 3x+5x<sup>2</sup>
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</popup> </div>
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<br /><br />
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==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
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*5•x+3•x=
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*5•x-3•x=
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<popup name="Lösung">
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*5•x+3•x= 8•x=8x
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<sup><sup>Hochgestellt</sup></sup>
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*5•x-3•x= 2•x= 2x
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</popup> </div>
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<br />
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<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
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::m•x+n•x=(m+n)•x
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Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
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::m•x-n•x=(m-n)•x
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</div>
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<br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
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T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
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Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
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Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
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* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
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* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>
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* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
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<popup name="Lösung">
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 +
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z =
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:= 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z =
 +
:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =
 +
:= 14z<sup>2</sup>+z-7
 +
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
 +
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
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:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
 +
:= 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 =
 +
:= 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25
 +
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) =
 +
:= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a =
 +
:= 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 =
 +
:= 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2
 +
</popup> </div>
 +
 +
==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
 +
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
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Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
 +
<div class="multiplechoice-quiz">
 +
<big>''' 1: '''</big>
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 +
T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x
 +
 +
T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x
 +
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 +
 +
<big>''' 2 : '''</big>
 +
 +
T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15
 +
 +
T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
 +
 +
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
 +
 +
<big>''' 3: '''</big>
 +
 +
T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z
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 +
T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
 +
 +
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 +
 +
<big>''' 4: '''</big>
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 +
T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z
 +
 +
T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9
 +
 +
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
 +
 +
<big>''' 5: '''</big>
 +
 +
T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r
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 +
T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2
 +
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
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Aktuelle Version vom 14. August 2010, 13:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Umformen von Termen

Äquivalente Terme




Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der grün markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b1=b2=b)


Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.



Einstieg addierensubtrahieren neu.jpg


Erklärung:

Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.

Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
a+b = b+a
a•b = b•a
  • Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
  • Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
a•(b+c) = a•b+a•c
für alle rationalen Zahlen a, b, c (c\neq 0) gilt:
(b+c):a = b:a+c:a


Beispiel:

T(a;b)= 3a+(7b+2a)

(KG)= 3a+(2a+7b)
(AG)= (3a+2a)+7b
= 5a+7b

Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:

a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)

b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b

c)T(a;b)= (3+5•x)•x



Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder

Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
  • 5•x+3•x=
  • 5•x-3•x=


Erklärung:

Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x+n•x=(m+n)•x

Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x-n•x=(m-n)•x


Beispiel

T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2 Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:

  • T(z)= 8•z2-7+3•z+(4•z2+2•z2)-2z
  • T(n)= 2,2•n+2,8•n2-0,25+ \left[ n(2.7+0,3n)\right]
  • T(a;b)= 4a2-2a+3b+2-8b2+a(2b+9)

Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Prüfe, ob die Terme äquivalent sind

1:

T1 (x)= 5x-2x+6x

T2 (x)= 2•x•2+5x (äquivalent) (!nicht äquivalent)

2 :

T1 (y)= 4y-3•4y+15

T2 (y)= 3•5+2y-4y-6y

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

3:

T1 (y;z)= 2y-3+z

T2 (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

4:

T1 (z)= 4•\frac{3}{2} -2z

T2 (z)= 6+8z-5•20%-z•9

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

5:

T1 (r)= 3r-23 r+5-r

T2 (r)= 3•r•2 (!äquivalent) (nicht äquivalent)









































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