2006 V: Unterschied zwischen den Versionen
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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006'''</big></center> | <center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006'''</big></center> | ||
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<center>Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert</center> | <center>Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert</center> | ||
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+ | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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+ | In einem kartesischen Koordinatensystem des <math>\mathbb{R} </math><sup>3</sup> ist die | ||
+ | Ebene E: x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> - 1 = 0 , die Geradenschar g<sub>k</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und die Gerade h : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gegeben, wobei k, <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> aus <math>\mathbb{R} </math> sind. | ||
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;Aufgabe 1 | ;Aufgabe 1 | ||
+ | a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar g<sub>k</sub> sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E. | ||
+ | <div align="right"><i>'''3 BE'''</i></div> | ||
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:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | .[[Bild:1a klein.jpg]] | ||
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+ | b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden g<sub>k</sub> eine Halbebene von E bildet. | ||
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+ | <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | .[[Bild:1b_001.jpg]] | ||
}} | }} | ||
+ | c) Für welche Werte von k schneidet g<sub>k</sub> die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S. | ||
− | + | [ Teilergebnis: S = (2/<math>\frac{5}{3}</math>/<math>\frac{2}{3}</math>) ] | |
+ | <div align="right"><i>'''5 BE'''</i></div> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | . [[Bild:1c_001.jpg]] | ||
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+ | d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade h<sub>E</sub>. Berechnen Sie den Winkel <math>\varphi</math> zwischen h<sub>E</sub> und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet. | ||
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+ | <div align="right"><i>'''5 BE'''</i></div> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | . [[Bild:1d_001.jpg]] | ||
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
+ | Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K<sub>1</sub> und K<sub>2</sub> mit dem Radius <math>5\sqrt{2}</math>, deren Mittelpunkte M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> auf der Gerade h liegen. | ||
+ | a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M<sub>1</sub> bezeichnet.) | ||
+ | [Teilergebnis: M<sub>1</sub> = (2/5/-6)] | ||
+ | <div align="right"><i>'''6 BE'''</i></div> | ||
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+ | b) Die Kugelpunkte P <math>\in</math> K<sub>1</sub> und Q <math>\in</math> K<sub>2</sub> sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet. | ||
+ | <div align="right"><i>'''3 BE'''</i></div> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | . [[Bild:2a,b klein.jpg]] | ||
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+ | der x<sub>2</sub> -Wert von M2 ist falsch (-5/3) | ||
+ | Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde. | ||
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+ | c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M<sub>1</sub>, so erhält man die Ebene E<sup>*</sup>. Geben Sie eine Gleichung von E<sup>*</sup> in Normalenform an. | ||
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+ | <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | .[[Bild:2c_001.jpg]] | ||
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+ | d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K<sub>1</sub> um M<sub>1</sub> liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K<sub>1</sub> ist. | ||
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+ | [Teilergebnis: B (5/10/-10)] | ||
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+ | <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div> | ||
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+ | . [[Bild:2d.jpg]] | ||
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+ | e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K<sub>1</sub> liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich). | ||
+ | Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise. | ||
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+ | [Zur Kontrolle: h = <math>\sqrt{11}</math>] | ||
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+ | <div align="right"><i>'''6 BE'''</i></div> | ||
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+ | . [[Bild:2e.jpg]] | ||
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Aktuelle Version vom 22. April 2010, 18:51 Uhr
Bitte Link zu den Originalaufgaben ausbessern und Gesamtlösung hochladen
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In einem kartesischen Koordinatensystem des
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a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar gk sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E. 3 BE
4 BE
[ Teilergebnis: S = (2/ 5 BE
5 BE
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Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K1 und K2 mit dem Radius
[Teilergebnis: M1 = (2/5/-6)] 6 BE
b) Die Kugelpunkte P 3 BE
der x2 -Wert von M2 ist falsch (-5/3) Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.
4 BE
[Teilergebnis: B (5/10/-10)] 4 BE
[Zur Kontrolle: h = 6 BE
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