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Ebene E: x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> - 1 = 0 , die Geradenschar g<sub>k</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und die Gerade h : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gegeben, wobei k, <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>  aus <math>\mathbb{R} </math> sind.
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a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M<sub>1</sub> bezeichnet.)
  
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b) Die Kugelpunkte P <math>\in</math> K<sub>1</sub> und Q <math>\in</math> K<sub>2</sub> sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.
  
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d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K<sub>1</sub> um M<sub>1</sub> liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K<sub>1</sub> ist.
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[Teilergebnis: B (5/10/-10)]
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e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K<sub>1</sub> liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich).
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Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.
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Aktuelle Version vom 22. April 2010, 17:51 Uhr

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Analytische Geometrie V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert



In einem kartesischen Koordinatensystem des \mathbb{R} 3 ist die Ebene E: x2 - x3 - 1 = 0 , die Geradenschar gk : \vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} und die Gerade h : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} gegeben, wobei k, \lambda und \mu aus \mathbb{R} sind.



Aufgabe 1

a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar gk sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.

3 BE


.1a klein.jpg


b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden gk eine Halbebene von E bildet.

4 BE


.1b 001.jpg


c) Für welche Werte von k schneidet gk die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S.

[ Teilergebnis: S = (2/\frac{5}{3}/\frac{2}{3}) ]

5 BE


. 1c 001.jpg


d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade hE. Berechnen Sie den Winkel \varphi zwischen hE und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.

5 BE


. 1d 001.jpg



Aufgabe 2

Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K1 und K2 mit dem Radius 5\sqrt{2}, deren Mittelpunkte M1 und M2 auf der Gerade h liegen.


a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M1 und M2 . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.)

[Teilergebnis: M1 = (2/5/-6)]

6 BE


b) Die Kugelpunkte P \in K1 und Q \in K2 sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.

3 BE


. 2a,b klein.jpg 

der x2 -Wert von M2 ist falsch (-5/3)
Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.


c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M1, so erhält man die Ebene E*. Geben Sie eine Gleichung von E* in Normalenform an.

4 BE


.2c 001.jpg


d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K1 um M1 liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K1 ist.

[Teilergebnis: B (5/10/-10)]

4 BE


. 2d.jpg


e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K1 liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.

[Zur Kontrolle: h = \sqrt{11}]

6 BE


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