2008 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.  
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a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.<br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] <div align="right">''5 BE''</div>
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<br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0]
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Zu beweisen ist, dass P '''auf''' nicht innerhalb von k liegt. <br>Deswegen muss als Bedingung: <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert = r </math> und nicht <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert \le r </math> gelten.
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Da der Kreis in der Ebene liegt, genügt es die Länge [MP] zu überprüfen.
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Der Nachweis, dass P in der Ebene liegt, ist nicht mehr nötig.
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b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie
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b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)<br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] <div align="right">''7 BE''</div>
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die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt
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mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)
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c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.
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c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. <div align="right">''6 BE''</div>
  
 
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a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.
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a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.<br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] <div align="right">''4 BE''</div>
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b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. <div align="right">''3 BE''</div>
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g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden.
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Beweis:
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<math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math>
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<math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180} {;}  \qquad \vert \overrightarrow {RM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180}</math>
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<math>\Rightarrow \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math> q.e.d.
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2. Lösung
  
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c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt
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S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese
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Pyramide aus?
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c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus? <div align="right">''7 BE''</div>
  
 
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Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden
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Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt. <div align="right">''8 BE''</div>
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Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich
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der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen
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Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E
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berührt.
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''Strahlensatz''
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''Strahlensatz<br />oder HNF''
 
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1. Lösung: Strahlensatz
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2. Lösung: HNF
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Aktuelle Version vom 26. März 2010, 15:22 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008
Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig


Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, λ ∈ IR gegeben. Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius 6\sqrt{5} und liegt in der Ebene E.

ABI 2008 VI Grafik A1.jpg
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.
[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0]
5 BE
[Lösung anzeigen]


b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)
[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)]
7 BE
[Lösung anzeigen]


c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren \vec PR und \vec PT einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.
6 BE
[Lösung anzeigen]



Aufgabe 2
a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.
[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ]
4 BE


[Lösung anzeigen]


b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden.
3 BE
[Lösung anzeigen]


c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus?
7 BE
[Lösung anzeigen]



Aufgabe 3
Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt.
8 BE


[Lösung anzeigen]



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