2005 II: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. März 2010, 18:55 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Infinitesimalrechnung II

Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken

Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x}$ mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.

4 BE

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

4 BE

c) Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ an und ermitteln Sie den Funktionsterm $f^ {-1}$ (x).

5 BE

d) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und $f^ {-1}$ in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.

5 BE

e) Der Graph G_f die x-Achse und die Gerade x= –1 schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

4 BE

Aufgabe 2

Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen G_g. Die Abbildung zeigt den Graphen G_u der in IR\{-2;1} definierten Funktion $u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}$ . Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von G_u.

Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden.

a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G_u und G_g.

5 BE

b) Begründen Sie, dass G_g in x= – 2 und x=0 waagrechte Tangenten hat.

5 BE

c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von G_u und G_g gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)

5 BE

d) Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berück-sichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen G_g.

3 BE

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